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| Raízes complexas não reais em uma equação algébrica https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=8&t=12720 |
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| Autor: | Vitoria Lycurgo [ 13 mai 2017, 23:23 ] |
| Título da Pergunta: | Raízes complexas não reais em uma equação algébrica |
Os números 1 e 2+i são raízes da equação algébrica x³ + ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são coeficientes reais. Calcule o valor do coeficiente c. Estou em duvida entre 5 e -5!!! Por favor, me ajudem!!! |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 14 mai 2017, 04:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Raízes complexas não reais em uma equação algébrica |
\((x-1)(x-2-i)(x-k)=x^3+ax^2+bx+c\Leftrightarrow x^3+(-k-3-i)x^2+(3k+ik+2+i)x-2k-ik\) Onde vem: \(\left\{\begin{matrix} a=-k-3-i\\ b=3k+ik+2+i\\ c=-2k-ik \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=-d-ie-3-i\\ b=3d+3ie+id-e+2+i\\ c=-2d-2ei-id+e \end{matrix}\right.\) Pelo que necessariamente \(e=-1\) \(\left\{\begin{matrix} a=-d-3\\ b=3d-3i+id+1+2+i\\ c=-2d+2i-id-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=-d-3\\ b=3d-2i+id+3\\ c=-2d+2i-id-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=-d-3\\ b=3d+3+i(d-2)\\ c=-2d-1+i(2-d) \end{matrix}\right.\) Onde vem \(d=2\) e temos a igualdade: \(\left\{\begin{matrix} a=-5\\ b=9\\ c=-5 \end{matrix}\right.\) |
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| Autor: | danjr5 [ 14 mai 2017, 04:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Raízes complexas não reais em uma equação algébrica [resolvida] |
Vitoria Lycurgo Escreveu: Os números 1 e 2+i são raízes da equação algébrica x³ + ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são coeficientes reais. Calcule o valor do coeficiente c. Estou em duvida entre 5 e -5!!! Por favor, me ajudem!!! Olá Letícia, seja bem-vinda!! Sabe-se que as raízes complexas de uma equação (se existir) aparecem aos pares. Com isso, quero dizer que se uma equação admite raiz complexa, então o conjugado dessa raiz também será solução. Isto posto, temos que além das raízes dadas no enunciado, \(\mathbf{2 - i}\) também é uma raiz. Então, já que o coeficiente de x³ é um, fazemos: \(\mathbf{(x - 1) \cdot (x - 2 - i) \cdot (x - 2 + i) = 0}\) \(\mathbf{(x - 1) \cdot (x^2 - 2x + ix - 2x + 4 - 2i - ix + 2i - i^2) = 0}\) \(\mathbf{(x - 1) \cdot (x^2 - 4x + 4 + 1) = 0}\) \(\mathbf{(x - 1) \cdot (x^2 - 4x + 5) = 0}\) \(\mathbf{x^3 - 4x^2 + 5x - x^2 + 4x {- 5} = {0}}\) \(\mathbf{x^3 - 5x^2 + 9x {- 5} = {0}}\) Portanto, por comparação, concluímos que: \(\boxed{\mathbf{c = - 5}}\). Espero ter ajudado!! Bons estudos!! A propósito, você é aluna do IF? |
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