Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Não consigo entender essa questão alguém pode me dar a solução?
Dê a equação da reta tangente à curva de equação x²y²=y(x+1) no ponto (x,y)=(1,2)

Trata-se de calcular a derivada de uma função definida implicitamente. Assumindo que numa vizinhança de (1, 2) a equação que referiu permite definir y como função de x, teremos que nessa vizinhança

\(x^2 y^2(x) = y(x) (x+1) \Rightarrow
(x^2 y^2(x))' = (y(x) (x+1))' \Leftrightarrow
2x y^2(x) + x^2 2 y'(x) y(x) = y'(x) (x+1) + y(x) \Leftrightarrow
y'(x) = \frac{2x y^2(x) -y(x)}{x+1-2 x^2 y(x)} \Rightarrow
y'(1) = \frac{2\cdot 1 y^2(1) -y(1)}{1+1-2 \cdot 1^2 y(1)}=\frac{2 \cdot 1 \cdot2^2-2}{1+1-2\cdot 1^2 \cdot 2} \frac{6}{-2} = -3\)

Deste modo sabemos que o declive da recta tangente será -3, como passa no ponto (1,2), a equação dessa recta será

\(y-2 = -3 (x-1) \Leftrightarrow y = -3 x +5\)