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Em primeiro lugar, nestas condições, é fácil ver que a > 1 e b > 2. A equação de recta que passa no ponto (1 , 2) e tem declive (0 - 2)/(a - 1) é
\(y - 2 = \frac{-2}{a-1} (x-1)\)
Como b é a ordenada na origem desta recta, podemos concluir que \(b = 2+ 2 /(a-1)\). A distância entre os ponto A e B é dada por
\(d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2 + (2+\frac{2}{a-1})^2}\)
Assim, basta determinar o valor de a que minimiza a função d (como a raiz quadrada é uma função crescente podemos alternativamente determinar o mínimo de d^2).
\((a^2 + (2+\frac{2}{a-1})^2)' = 2 a -\frac{2}{(a-1)^2}
(a^2 + (2+\frac{2}{a-1})^2)'' = 2+\frac{4}{(a-1)^3} > 0\)
Tratando-se de uma função estritamente convexa, tem no máximo um ponto de estacionaridade que será o seu minimizante global. Assim, apenas tem que resolver a equação
\(2 a -\frac{2}{(a-1)^2} = 0\)
e terá o valor de 'a' e portanto tambem a equação da recta r.
OBS: Usando o Mathematica pode obter
\(a = \frac{1}{3} \left(2+\sqrt[3]{\frac{25}{2}-\frac{3
\sqrt{69}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(25+3 \sqrt{69}\right)}\right)\)
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