Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite preciso de ajuda nesta demostração, nao sei se devo resolver as derivadas parciais cruzadas ou se existe uma forma mais simples...

Dado \(f(x,y) = xy(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})\) se \((x,y)\neq (0,0)\) e \(f(0,0)= 0\), mostre que \(\frac{d^2f}{dxdy}(0,0)\neq \frac{d^2f}{dydx}(0,0)\)

Gostaria que alguém me desse uma ideia de como pegar nisto..

Como a função é definida por ramos, e (0,0) está na fronteira, vais ter de calcular as derivadas parciais pela definição (limites) e nunca derivando como se faz normalmente.

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Mesmo assim nao tou a conseguir! Se pudesse explicar uma pouco mais detalhadamente, ficava bastante agradecido!

Calculas isto
\(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = lim_{h \to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\)
Depois
\(\frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}(0,0) = lim_{h \to 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,h)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{h}\)

A outra é similar.

Ficou claro assim?

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

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(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Ok, para ficar claro, a outra é

\(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = lim_{h \to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}\)
Depois
\(\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) = lim_{h \to 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(h,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{h}\)

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
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Álvaro de Campos, 15-1-1928

Muito Obrigado pela ajuda!

De nada, estamos aqui para ajudar também! E se puderes, contribui de vez em quando também para responder!

Saudações Pitagóricas

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José Sousa
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(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Certo! No que eu conseguir, estarei disposto a ajudar!