Determinar a soma dos intervalos de P que contenham pontos de X

[Walter R]

Bom dia a todos!
Gostaria de saber de vocês se meu argumento para resolver o problema abaixo é ou não convincente:

Problema:
"Prove que se \(X \subset [a,b]\) não é um conjunto de medida nula, então existe \(\varepsilon >0\) tal que, para cada partição \(P\) de \([a,b]\), a soma dos intervalos de \(P\) que contenham pontos de \(X\) é maior do que \(\varepsilon\)".

Solução:
Simplesmente raciocino assim. Se \(X\) não tem medida nula, então existem \(\varepsilon > 0\), e uma família enumerável de intervalos abertos \(I_1,...,In,...\) tais que \(X \subset \bigcup_{i \in \mathbb N}I_i\), com \(\sum_{i=1}^\infty|I_i|\ge \varepsilon\). Os pontos \(a, b\), bem como os extremos dos intervalos \(I_i\) formam uma partição \(P\) de \([a,b]\) cuja soma do comprimento dos intervalos que contêm pontos de \(X\) é maior ou igual a \(\varepsilon\).
Achei muito fácil, daí a minha desconfiança.
Um abraço!

[Sobolev]

Boa noite Walter,

Tem um problema com a sua demonstração pois, mesmo que X tivesse medida nula, continuaria a existir o tal \(\varepsilon > 0\) e a família de conjuntos abertos que refere.

[Walter R]

Olá Sobolev!
Sim, agora me dei conta de que isto pode mesmo acontecer.
Terias alguma estratégia para sugerir?

[Sobolev]

Se X não tem medida nula então existe \(\varepsilon > 0\) de tal modo que a soma dos comprimentos de qualquer cobertura aberta de X (por intervalos) é superior ou igual a \(\varepsilon\). Até aqui trata-se apenas de afirmar que a definição de conjunto de medida nula não é verificada.

Agora, como qualquer partição de [a,b] é uma cobertura de X por intervalos, segue-se o resultado pretendido.