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Preciso calcular o diferencial, no ponto (0,0) da seguinte função:
f(x,y) = ( x⁴/ x²+y² , x ) (x,y)=(0,0)
(0,0) (x,y)≠(0,0)

Comecei tentando calcular os gradientes neste ponto, porém não consegui seguir adiante no cálculo das derivadas parciais,
cheguei em uma indeterminação do tipo 0/0.

quando usar essa notação, ou seja, não usando LaTex incumprindo as regas, pelo menos respeite corretamente os parênteses, pois presumo que se refira a isto: f(x,y) = ( x⁴/ (x²+y²) , x )

Como tem uma função \(\R^2 \to \R^2\)

basta pensar como se tivesse duas funções

\(f_1(x,y)=\frac{x^4}{x^2+y^2}\)

\(f_2(x,y)=x\)

agora é só achar as derivadas parciais de \(f_1\) e \(f_2\)

\(\frac{\partial f_1}{\partial x}=\frac{4x^3.(x^2+y^2)-2x.x^4}{(x^2+y^2)^2}=...\)

\(\frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{2y.x^4}{(x^2+y^2)^2}=...\)

\(\frac{\partial f_2}{\partial x}=1\)

\(\frac{\partial f_2}{\partial y}=0\)

estes são os quatro valores da matriz Jacobiana, que no seu caso, como a função é \(\R^2 \to \R^2\), é uma matriz 2x2

como dá uma determinação apenas em \(f_1\), terá de achar o limite de \(f_1\) quando \((x,y)\to (0,0)\)

tem aqui alguns exemplos:
http://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=7&t=1128
http://forumdematematica.org/viewforum.php?f=7

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João Pimentel Ferreira
 
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