Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Jailton ferrando a turma :/ Tb to precisando

Boa tarde!

Seja um quadrado de diagonais D inscrito na esfera cuja distância ao centro seja x. Então:
\(R^2=x^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2
2^2=x^2+\frac{D^2}{4}
4-x^2=\frac{D^2}{4}
D^2=4\left(4-x^2\right)
D=2\sqrt{4-x^2}\)

Agora calculando o volume (lembrando que um quadrado é um losango e a área do losango é o semi-produto de suas diagonais):
\(V=\frac{A_b\cdot{h}}{3}
V=\frac{\frac{D^2}{2}\cdot(x+R)}{3}
V=\frac{\frac{4\left(4-x^2\right)}{2}\cdot(x+2)}{3}
V=\frac{2(2+x)(2-x)(2+x)}{3}
V=\frac{2}{3}(2-x)(2+x)^2\)

Para obtermos o volume Máximo (ou mínimo) precisamos derivar:
\(\frac{dV}{dx}{=}\frac{2}{3}\left[-1(2+x)^2+(2-x)2(x+2)(1)\right]
\frac{dV}{dx}{=}\frac{2}{3}\left[-1(4+2x+x^2)+2(4-x^2)\right]
\frac{dV}{dx}{=}\frac{2}{3}\left[-4-2x-x^2+8-2x^2\right]
-3x^2-2x+4{=}0
3x^2+2x-4{=}0
\Delta{=}(2)^2-4(3)(-4)=4+48=52=4\cdot{13}
x{=}\frac{-(2)\pm\sqrt{52}}{2(3)}
x{=}\frac{-2\pm{\sqrt{4\cdot{13}}}}{6}
x{=}\frac{-2\pm{2\sqrt{13}}}{6}
x'{=}\frac{-1+\sqrt{13}}{3}
x''{=}\frac{-1-\sqrt{13}}{3}\)

Então, o valor de x é \(\frac{-1+\sqrt{13}}{3}\) e representa um ponto de máximo (analisando o sinal da derivada primeira)

Calculando o volume, portanto:
\(V=\frac{2}{3}(2-x)(2+x)^2
V=\frac{2}{3}\left(2-\frac{-1+\sqrt{13}}{3}\right)\left(2+\frac{-1+\sqrt{13}}{3}\right)^2
V=\frac{2}{3}\left(\frac{7-\sqrt{13}}{3}\right)\left(\frac{5+\sqrt{13}}{3}\right)^2
V=\frac{2}{3}\left(\frac{7-\sqrt{13}}{3}\right)\left(\frac{25+10\sqrt{13}+13}{9}\right)
V=\frac{2}{3}\left(\frac{7-\sqrt{13}}{3}\right)\left(\frac{38+10\sqrt{13}}{9}\right)
V=\frac{2}{3}\left(\frac{266+70\sqrt{13}-38\sqrt{13}-130}{27}\right)
V=\frac{272+64\sqrt{13}}{81}\)

Espero ter ajudado!