integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares
10 nov 2016, 20:01
Modifique a integral da forma cartesiana para a equivalente polar e então resolva a integral.
\(\int_{-a}^{a}\int_{-\sqrt{a^2-x^2})}^{\sqrt{a^2-x^2}}dydx\)
o gabarito tá dando \(a^2\pi\) e o meu tá dando \(\frac{a^2\pi}{2}\)
minha resolução está abaixo na foto
\(\int_{-a}^{a}\int_{-\sqrt{a^2-x^2})}^{\sqrt{a^2-x^2}}dydx\)
o gabarito tá dando \(a^2\pi\) e o meu tá dando \(\frac{a^2\pi}{2}\)
minha resolução está abaixo na foto
- Anexos
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Re: integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares
10 nov 2016, 20:14
Na verdade \(\theta \in [0, 2\pi]\)...
\(\int_0^{2 \pi} \int_0^a r dr d \theta = 2 \pi [r^2/2]_0^a = \pi a^2\)
\(\int_0^{2 \pi} \int_0^a r dr d \theta = 2 \pi [r^2/2]_0^a = \pi a^2\)
Re: integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares
23 nov 2016, 18:20
só não entendi porquê o intervalo é 0 a pi, porque \(a^2\leq r^2\leq a^2 \rightarrow r= +-a\)
e assim \(-a\leq rcos\Theta \leq a \rightarrow -1\leqslant cos\Theta \leq 1\)
e assim \(-a\leq rcos\Theta \leq a \rightarrow -1\leqslant cos\Theta \leq 1\)
Re: integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares
23 nov 2016, 21:09
Sobolev Escreveu:Na verdade \(\theta \in [0, 2\pi]\)...
\(\int_0^{2 \pi} \int_0^a r dr d \theta = 2 \pi [r^2/2]_0^a = \pi a^2\)
Re: integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares [resolvida]
23 nov 2016, 21:18
Quando x está entre -a e a, y está entre \(-\sqrt{a^2-x^2}\) e \(\sqrt{a^2-x^2}\). Ora \(y=-sqrt{a^2-x^2}\) é o gráfico da semi-circunferência de raio a, centro em (0,0) que está abaixo do eixo dos xx, e \(y=sqrt{a^2-x^2}\) é o gráfico da semi-circunferência de raio a, centro em (0,0) que está acima do eixo dos xx. A região é portanto todo o circulo de centro em (0,0) e raio a.