Maximos e minimos de derivada pra que o custo seja o menor possivel

[tomorelo123]

Deseja - se fabricar uma lata cilindrica de volume 65π ml. O preço do material usado para fazer o fundo e a tampa da lata é três centavos por centímetros quadrado, e o do material usado para fazer o lado da lata ´e dois centavos por centimetros quadrado. Use a teoria de maximos e minimos absolutos para determinar as dimensões da lata para que o custo total do material seja o menor possivel.

[Sobolev]

Sejam h e r a altura da lata e o raio da base, respectivamente. O custo associado é então

\(C(h,r) = 3 \times 2 \times \pi r^2 + 2 \times 2 \pi r h = 6 \pi r^2 + 4\pi rh\)

Por outro lado, como o volume é 65 pi, sabemos que \(\pi r^2 h = 65 \pi \Leftrightarrow h = \frac{65}{r^2}\).

Deste modo, trata-se de determinar os extremos globais da função

\(C(r)=6 \pi r^2 + \frac{260 \pi}{r}, \quad r > 0\)

Como se trata de uma função estritamente convexa no conjunto \(]0,+\infty[\) e o único zero real da derivada é \(r = \sqrt[3]{65/3}\), concluímos que esse ponto corresponde a um mínimizante global da função.

Sabendo r, calcula h e fica com as dimensões da lata.