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O professor passou a seguinte questão mas não consegui compreender como proceder para resolvê-la. É a seguinte: \(f(x,y)=x^{2}-2y^{2}\) e restrita a \(x^{2}+y^{2}-2x=0\)
Quando aplicamos o gradiente de f(x,y), encontramos x=y=0. Como procedo a partir daí? Ou esse não é o processo correto? Alguém me ajuda?


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MensagemEnviado: 07 dez 2016, 09:44 
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Trata-se de um problema de optimização com restrições... Repare que ao procurar os zeros do gradiente da função objectivo obteve um ponto que só por acaso verifica a restrição, pelo que poderia não ter sequer obtido uma solução admissível. Pode resolver o problema do seguinte modo:

1. Como a função objectivo \(f(x,y)=x^2-2y^2\) é contínua e o conjunto definido pelas restrições é compacto (é uma circunferência de centro em (1,0) e raio 1), o teorema de Weierstrass garante que \(f\) tem máximo e mínimo globais no conjunto definido pela restrição.

2. A função objectivo e as restrições são definidas por funções diferenciáveis e a matriz jacobina das restrições, \(J =[2x -2 ; 2y]\) tem característica máxima (só teria característica nula num ponto que não verifica a restrição). Assim, qualquer extremo local vai ser ponto crítico da função Lagrangeana

\(L(x,y; \lambda) = (x^2-2y^2) + \lambda(x^2+y^2 -2x)\)

3. Os pontos críticos de L são (considerando apenas as variáveis x,y): (0,0); (2,0); \((\frac 23 , \frac{2 \sqrt{2}}{3})\), \((\frac 23 , \frac{2 \sqrt{2}}{3})\).

4. Entre estes 4 pontos, estarão os extremos globais... Se calcularmos o valor de f para estes pontos obtemos

\(f(0,0)=0, \qquad f(2,0)=4, \qquad f(\frac 23, \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3})= -\frac 43\)

vemos assim que o ponto (2,0) onde é atingido o maior valor (4) é um maximizante global, e os pontos \((\frac 23, \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3})\), onde é atingido o menor valor (-4/3) são minimizantes globais. Quanto ao ponto (0,0), esta análise não permite ainda saber se se trata de um extremante local ou de um ponto de sela.

5. Para esclarecer a situação do ponto (0,0) podemos usar a Hessian Orlada (critérios de segunda ordem), ou podemos simplesmente analisar o sinal de f, na vizinhança de (0,0), sobre a curva dada pela restrição. Se assim fizer, verá que f é negativa na vizinhança de (0,0), pelo que sendo f(0,0)=0 o ponto é um maximizante local (não é global pois no ponto (2,0) é atingido um valor superior).


OBS: Neste caso tudo podia ser muito simplificado pois a restrição permite definir explicitamente uma variável em termos da outra... A restrição implica que \(y^2 = 2x-x^2\), pelo que a função objectivo pode ser escrita apenas como função de x como \(f(x) = x^2-2(2x - x^2) = 3x^2-4x\). O problema resume-se pois a determinar os max/min de \(f(x)=3x^2-4x\) para \(x \in [0,2]\)


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