Maximização função utilidade condicionada com logaritmo natural
14 fev 2017, 00:49
Boa noite, nobres colegas!
Se puderem me ajudar nesse problema de maximização condicionada aplicada em Economia, por gentileza:
Um consumidor divide sua renda entre necessidades (x) e lazer (y), trabalhando "l" horas por dia.
Sua função utilidade é: U(x,y,l) = α ln (x) + β ln (y) - ln (l),
onde α + β > 1 e l < 24
Sendo px e py os preços das necessidades e lazer, respectivamente.
O salário por hora do consumidor é dado por "w" e recebe uma renda extra de "n" reais.
O consumidor deseja maximizar sua utilidade respeitando sua restrição orçamentária.
Deseja-se obter as quantidades ótimas de x*, y* e l*
Desde já, agradeço e parabenizo os organizadores deste fórum.
Se puderem me ajudar nesse problema de maximização condicionada aplicada em Economia, por gentileza:
Um consumidor divide sua renda entre necessidades (x) e lazer (y), trabalhando "l" horas por dia.
Sua função utilidade é: U(x,y,l) = α ln (x) + β ln (y) - ln (l),
onde α + β > 1 e l < 24
Sendo px e py os preços das necessidades e lazer, respectivamente.
O salário por hora do consumidor é dado por "w" e recebe uma renda extra de "n" reais.
O consumidor deseja maximizar sua utilidade respeitando sua restrição orçamentária.
Deseja-se obter as quantidades ótimas de x*, y* e l*
Desde já, agradeço e parabenizo os organizadores deste fórum.
Re: Maximização função utilidade condicionada com logaritmo natural [resolvida]
14 fev 2017, 10:24
Bom dia,
A restrição orçamental vai ser da forma \(p_x x + p_y y \leq w l+n\). Tem então que procurar maximizantes da função \(U(x,y,l)=\alpha \ln x + \beta \ln y - \ln l\) sujeita às restriçõs de desigualdade
\(p_x x + p_y y -w l -n \leq 0, \qquad l -24 \leq 0\)
Verificadas as condições do teorema de karush-Kuhn-Tucker (KKT), o maximizante será necessariamente solução do sistema
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\alpha}{x}- \mu_1 p_x = 0\\\frac{\beta}{y}-\mu_1 p_y = 0\\ -\frac{1}{l}+\mu_1 w-\mu_2=0 \\ \mu_1, \mu2 \ge 0 \\ p_x x + p_y y- wl -n \leq 0\\ l -24 \leq 0 \\\mu_1(p_x x +p_y y -wl -n) = 0 \\ \mu_2 (l-24) = 0\end{array}\right.\)
Terá agora que resolver o sistema... em traços largos, olhando a primeira equação, sabemos que \(\mu_1 \ne 0\). Agora,
Se \(\mu_2=0\) obtemos
\(x =\frac{\alpha n}{p_x(\alpha+\beta -1)}, \qquad y=\frac{\beta n}{p_y (\alpha+\beta -1)}, \qquad l =\frac{n}{w (\alpha+\beta-1)}\),
desde que este valor de l seja menor ou igual que 24. (isso depende do valor dos parametros do modelo). Esta solução corresponde a um ponto na fronteira dada pela restrição orçamental que verifica a segunda restrição.
Se \(\mu_2 \ne 0\)
Devemos ter \(l=24\), pelo que \(\mu_1 = \frac{\alpha+\beta}{24 w + n}\) e
\(x=\frac{\alpha(24w+n)}{p_x (\alpha+\beta)}, \qquad y=\frac{\beta (24 w+n)}{p_y(\alpha +\beta)}, \qquad l =24\)
(...)
A restrição orçamental vai ser da forma \(p_x x + p_y y \leq w l+n\). Tem então que procurar maximizantes da função \(U(x,y,l)=\alpha \ln x + \beta \ln y - \ln l\) sujeita às restriçõs de desigualdade
\(p_x x + p_y y -w l -n \leq 0, \qquad l -24 \leq 0\)
Verificadas as condições do teorema de karush-Kuhn-Tucker (KKT), o maximizante será necessariamente solução do sistema
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{\alpha}{x}- \mu_1 p_x = 0\\\frac{\beta}{y}-\mu_1 p_y = 0\\ -\frac{1}{l}+\mu_1 w-\mu_2=0 \\ \mu_1, \mu2 \ge 0 \\ p_x x + p_y y- wl -n \leq 0\\ l -24 \leq 0 \\\mu_1(p_x x +p_y y -wl -n) = 0 \\ \mu_2 (l-24) = 0\end{array}\right.\)
Terá agora que resolver o sistema... em traços largos, olhando a primeira equação, sabemos que \(\mu_1 \ne 0\). Agora,
Se \(\mu_2=0\) obtemos
\(x =\frac{\alpha n}{p_x(\alpha+\beta -1)}, \qquad y=\frac{\beta n}{p_y (\alpha+\beta -1)}, \qquad l =\frac{n}{w (\alpha+\beta-1)}\),
desde que este valor de l seja menor ou igual que 24. (isso depende do valor dos parametros do modelo). Esta solução corresponde a um ponto na fronteira dada pela restrição orçamental que verifica a segunda restrição.
Se \(\mu_2 \ne 0\)
Devemos ter \(l=24\), pelo que \(\mu_1 = \frac{\alpha+\beta}{24 w + n}\) e
\(x=\frac{\alpha(24w+n)}{p_x (\alpha+\beta)}, \qquad y=\frac{\beta (24 w+n)}{p_y(\alpha +\beta)}, \qquad l =24\)
(...)
Re: Maximização função utilidade condicionada com logaritmo natural
16 fev 2017, 10:58
Muito obrigado!!!