Cálculo de limite de duas variáveis

[carol.fe]

\([tex]\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0) } \frac{x^2y^2}{x^4+y^4}\)
[/tex]


Logo que comecei a resolver esse problema, já usei o teorema do anulamento e vi que dava zero. Entretanto, o gabarito dizia que o limite não existe porque ao usar o caminho y=mx, o limite dependia de m.

Mas como vou saber q em uma função como essa não dá pra usar o teorema do anulamento?

[Fraol]

Oi,

Se você substituir \(y=mx\)

O limite ficará assim:

\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \cdot (mx)^2}{x^4+(mx)^4} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^4 \cdot m^2}{x^4 \cdot(1 + m^4)}\)

Então você poderá cancelar o \(x^4\) e o limite será diferente de 0 ( m diferente de 0 ).

Então se você escolhe um caminho que passa pela origem ( \(y = mx, m \neq 0\) passa ) o limite pode ser qualquer valor dependendo da inclinação \(m\). Esse valor diferente de 0 mostra que o limite não existe. Em outras palavras, o limite depende do caminho.