0-forma, 1-forma, 2-forma e campo conservativo
12 nov 2017, 15:53
Eu preciso resolver essa questão, mas não achei uma explicação suficiente no Youtube pra entender os conceitos.
Alguém pode me explicar o que é 0-forma, 1-forma, 2-forma e campo conservativo? Eu gostaria de algum exemplo prático, além de uma explicação teórica, pra conseguir entender. Digamos...
Seja um campo vetorial \(\vec f (\vec x) = ((2-x^3)y^2, x^2y^3 -2)\) que leva de \(R^2\) em \(R^2\) (ou seja, é um campo 2-vetorial, certo? Essa é uma nomenclatura certa?)
Quais são as 0-forma, 1-forma e 2-forma dele? E como eu uso isso pra provar que é um campo conservativo? Eu realmente fiquei muito confuso. Não sei se 0-forma é uma aplicação, se é uma forma de escrever o campo... Enfim, não entendi. Alguém pode me explicar? Obrigado, desde já.
Alguém pode me explicar o que é 0-forma, 1-forma, 2-forma e campo conservativo? Eu gostaria de algum exemplo prático, além de uma explicação teórica, pra conseguir entender. Digamos...
Seja um campo vetorial \(\vec f (\vec x) = ((2-x^3)y^2, x^2y^3 -2)\) que leva de \(R^2\) em \(R^2\) (ou seja, é um campo 2-vetorial, certo? Essa é uma nomenclatura certa?)
Quais são as 0-forma, 1-forma e 2-forma dele? E como eu uso isso pra provar que é um campo conservativo? Eu realmente fiquei muito confuso. Não sei se 0-forma é uma aplicação, se é uma forma de escrever o campo... Enfim, não entendi. Alguém pode me explicar? Obrigado, desde já.
- Anexos
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Re: 0-forma, 1-forma, 2-forma e campo conservativo [resolvida]
13 nov 2017, 21:25
Não será fácil estar aqui a explicar detalhadamente e com rigor o que é uma forma diferencial. O meu concelho é que comece por ver o que é dito sobre o assunto no wikipédia (em português ou em inglês) ou então num bom livro de cálculo (por exemplo, "vector calculus- J.E.Marsden & A.J.Tromba").
De um modo simplista, uma 0-forma é um campo escalar \(f:D\subset \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\) e um 1-forma \(\omega\) é uma expressão do tipo \(\omega (\vec{x}) = f_1(\vec{x})dx_1+f_2(\vec{x})dx_2+\cdots +f_n(\vec{x})dx_n\) onde \(f_1,f_2,\dots f_n\) são campos escalares em \(\mathbb{R}^n\) (ou alternativamente, \(\omega = \vec{f}\cdot \vec{dx}\) onde \(\vec{f}:D\subset \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^n\) é um campo vetorial e \(\vec{dx}=(dx_1, dx_2, \dots ,dx_n)\)). Em geral, uma k-forma é uma expressão do tipo \(\omega =\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k \le n}f_{i_1,i_2,\cdots ,i_k}dx_{i_1}\wedge dx_{i_2}\wedge\dots dx_{i_k}\) onde \(\wedge\) é o produto exterior e tem as seguintes propriedades: é linear (i.e. \(\alpha \wedge (\beta + \gamma )=\alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \gamma\)) e antisimétrico (i.e. \(dx_i \wedge dx_j = -dx_j \wedge dx_i\)).
Se \(g\) for uma 0-forma então \(dg\) vai ser a 1-forma dada por \(dg=\frac{\partial g}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial g}{\partial x_2}dx_2+\cdots +\frac{\partial g}{\partial x_n}dx_n\), ou seja, \(dg= \nabla g\cdot \vec{dx}\). Portanto, é claro que uma 1-forma \(\omega =\vec{f}\cdot \vec{dx}\) é exata (i.e. existe uma 0-forma g tal que \(\omega =dg\)) se e só se \(\vec{f}\) é conservativo (i.e. existe um campo escalar g tal que \(\vec{f} =\nabla g\)).
Quanto à segunda parte do exercício tente encontrar um campo escalar \(g\) tal que \(\nabla g(x,y)=1/y(-1,x/y)\) (exercício)
De um modo simplista, uma 0-forma é um campo escalar \(f:D\subset \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\) e um 1-forma \(\omega\) é uma expressão do tipo \(\omega (\vec{x}) = f_1(\vec{x})dx_1+f_2(\vec{x})dx_2+\cdots +f_n(\vec{x})dx_n\) onde \(f_1,f_2,\dots f_n\) são campos escalares em \(\mathbb{R}^n\) (ou alternativamente, \(\omega = \vec{f}\cdot \vec{dx}\) onde \(\vec{f}:D\subset \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^n\) é um campo vetorial e \(\vec{dx}=(dx_1, dx_2, \dots ,dx_n)\)). Em geral, uma k-forma é uma expressão do tipo \(\omega =\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots <i_k \le n}f_{i_1,i_2,\cdots ,i_k}dx_{i_1}\wedge dx_{i_2}\wedge\dots dx_{i_k}\) onde \(\wedge\) é o produto exterior e tem as seguintes propriedades: é linear (i.e. \(\alpha \wedge (\beta + \gamma )=\alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \gamma\)) e antisimétrico (i.e. \(dx_i \wedge dx_j = -dx_j \wedge dx_i\)).
Se \(g\) for uma 0-forma então \(dg\) vai ser a 1-forma dada por \(dg=\frac{\partial g}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial g}{\partial x_2}dx_2+\cdots +\frac{\partial g}{\partial x_n}dx_n\), ou seja, \(dg= \nabla g\cdot \vec{dx}\). Portanto, é claro que uma 1-forma \(\omega =\vec{f}\cdot \vec{dx}\) é exata (i.e. existe uma 0-forma g tal que \(\omega =dg\)) se e só se \(\vec{f}\) é conservativo (i.e. existe um campo escalar g tal que \(\vec{f} =\nabla g\)).
Quanto à segunda parte do exercício tente encontrar um campo escalar \(g\) tal que \(\nabla g(x,y)=1/y(-1,x/y)\) (exercício)
Spoiler:
Re: 0-forma, 1-forma, 2-forma e campo conservativo
14 nov 2017, 21:28
Muito obrigado, Rui. Eu entendi o que eu precisava para resolver a questão.