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Resolver:
A equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y) = 2x^3 + 3x^2 y^3 - y^3 no ponto (2, -1, 5) é:

Boas

Primeiro terá de calcular as derivadas direcionais nesse ponto

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=6x^2+6xy^3\\\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=9x^2y^2-3y^2\)

Temos de calcular agora para os pontos em questão

\(\frac{\partial f(2,-1)}{\partial x}=24-12=12\)

\(\frac{\partial f(2,-1)}{\partial y}=36-3=33\)

Repare que calculámos as derivadas direcionais.
Significa que nesse ponto se avançamos 1 valor em x subimos 12 em z
Significa também que se avançamos 1 valor em y subimos 33 em z

Ora então, dois vetores tangentes ao gráfico nesse ponto podem ser

\(v_x=(1,0,12)\)

\(v_y=(0,1,33)\)

Para achar a equação do plano temos de arranjar o vetor perpendicular ao plano.
Ora o vetor perpendicular ao plano pode ser obtido através do produto externo dos dois vetores referidos atrás. Lembre-se que pela definição de produto externo, o resultado do produto é sempre perpendicular simultaneamente aos dois vetores do produto.

Assim

\(v_x\times v_y=\det \begin{bmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & 12 \\
0 & 1 & 33 \\
\end{bmatrix}\)

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Continuando

\(v_x \times v_y = \mathbf{i}(-12)-\mathbf{j}(33)+\mathbf{j}(1)\)

\(v_x \times v_y =(-12,-33,1)\)

Uma equação de um plano é da forma

\(ax+by+cz=d\)

onde \(N(a,b,c)\) é um vetor perpendicular ao plano

Assim a equação do nosso plano é da forma

\(-12x-33y+z=d\)

Para achar o \(d\) basta usar o ponto do enunciado \((2, -1, 5)\)
\(-12.2+33+5=d\)

\(d=38-24=14\)

Assim a equação da reta será

\(-12x-33y+z=14\)

Não sei se as contas estão totalmente corretas, mas o raciocínio é este

Cumprimentos

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João Pimentel Ferreira
 
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