Determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimos locais, ou como pontos de sela.

[Nil]

Dada a função \(f(x,y)=4xy-2x^4-y^2\). Determine os pontos estacionários e classifique-os como máximos ou mínimos locais, ou como pontos de sela, quando for o caso.

Preciso de auxílio urgente.
Não nem por onde começar.

[Sobolev]

Como a função é diferenciável e o domínio de definição é aberto, os máximos ou mínimos locais apenas podem ocorrer em pontos estacionário (pontos onde todas as derivadas parciais se anulam). Devemos então começar por aí: calcular os pontos estacionários, que serão os canditatos a maximizantes/minimizantes.

\(\nabla f = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 4y-8x^3= 0 \\ 4x-2y = 0\end{array} \right.\)

Da segunda equação retira y=2x, substituindo na primeira fica com

\(8x -8x^3=0 \Leftrightarrow 8x(1-x^2) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x= 1 \vee x=-1\)

Assim, os candidatos a extremante são: (0,0); (1,2); (-1,-2)

Para classificar estes pontos críticos podemos começar por tentar usar a matriz Hessiana

\(H(x,y)=\left(\begin{array}{cc} -24x^2 & 4 \\ \\4 & -2 \end{array}\right)\)

Quando x=-1,1 a matriz é definida negativa, pelo que (1,2) e (-1,-2) são maximizantes locais. Quando x=0 a matriz é indefinida, pelo que (0,0) é ponto se sela.