limite de logaritmo de (1/|x|) na base 5 com x tendendo a - infinito.

[rafaela.amaral]

Alguém poderia resolver para mim:
sendo f(x)=logaritmo de (1/|x|) na base 5, o limite da função f(x) com x tendendo a - infinito.
Obrigada

[TelmaG]

Olá rafaela, em primeiro lugar deve ter em mente a definição de módulo \(|x|=\begin{cases} x \text{ , } x> 0\\ 0 \text{ , } x= 0\\ -x \text{ , } x< 0 \end{cases}\)


Como x tende para menos infinito devemos considerar a expressão -x. Deste modo obtemos \(\lim _{x\rightarrow -\infty }\, \log _{5}\left ( \frac{1}{|x|} \right )=\lim _{x\rightarrow -\infty }\, \log _{5}\left ( \frac{1}{\left ( -x \right )} \right )\)

Agora vou resolver o limite de duas formas distintas:

\((1)\: \: \lim _{x\rightarrow -\infty }\, \log _{5}\left ( \frac{1}{\left ( -x \right )} \right )=-\lim _{x\rightarrow -\infty }\, \log _{5}\left ( -x \right )=-\left [ \log _{5}\left ( -\left ( -\infty \right ) \right ) \right ]=-\left [ \log _{5}\left ( +\infty \right ) \right ]=-\left ( +\infty \right )=-\infty
[tex](2)\: \: \lim _{x\rightarrow -\infty }\, \log _{5}\left ( \frac{1}{\left ( -x \right )} \right )=\log _{5}\left ( \frac{1}{\left ( -\left ( -\infty \right ) \right )} \right )=\log _{5}\left ( \frac{1}{+\infty } \right )=\log _{5}\left ( 0^{+} \right )=-\infty\)

Qualquer dúvida, não hesite em perguntar.