Coordenadas Polares - Como fazer a mudança?
03 jun 2015, 14:33
Mude a integral abaixo (integral cartesiana) para integral polar.
\(\int_{0}^{-1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{0}\,\frac{2}{1+x^2+y^2}\,dydx\)
Estou passando aperto em fazer essa mudança
Resolver a integral depois de feita a mudança é algo muito tranquilo.
Alguém me explica por favor de forma bem detalhada como consigo os valores para os limites de integração em relação a "Theta" e a "r" em coordenadas polares?
Uma outra dúvida: e se tivesse a mesma integral mas tivesse em relação a x primeiro e depois em relação a y, o que mudaria?
Muito agradecido
\(\int_{0}^{-1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{0}\,\frac{2}{1+x^2+y^2}\,dydx\)
Estou passando aperto em fazer essa mudança
Resolver a integral depois de feita a mudança é algo muito tranquilo.Alguém me explica por favor de forma bem detalhada como consigo os valores para os limites de integração em relação a "Theta" e a "r" em coordenadas polares?
Uma outra dúvida: e se tivesse a mesma integral mas tivesse em relação a x primeiro e depois em relação a y, o que mudaria?
Muito agradecido
Re: Coordenadas Polares - Como fazer a mudança?
14 dez 2016, 09:20
A ordem de integração (primeiro em relação a y e depois em relação a x ou o contrário) mostra sobre qual região se está integrando.
Na integral que você forneceu, por exemplo, fixando x, vemos que y varia de -(1-x²)^(1/2) até 0, o que mostra que a região é obtida após dois cortes (um paralelo ao eixo y e outro exatamente no eixo x) de um círculo centrado na origem e com raio unitário. O segundo limite de integração mostra onde foi exatamente o corte paralelo ao eixo y. Como x varia de 0 a -1, temos que esse corte foi exatamente no eixo y. Ou seja, a região é intersecção de um círculo centrado na origem e com raio unitário com o 3º quadrante.
Esboço da região:
A mudança para coordenadas polares, nesse caso, permite que você caminhe pela figura seguindo a sua simetria (fixando um ângulo, varia-se o r entre limites constantes e depois varia-se o ângulo também entre limites constantes). Observe:
No geral,sempre que tiver algum tipo de simetria circular na figura talvez valha à pena fazer mudança para coordenadas polares.
Na integral que você forneceu, por exemplo, fixando x, vemos que y varia de -(1-x²)^(1/2) até 0, o que mostra que a região é obtida após dois cortes (um paralelo ao eixo y e outro exatamente no eixo x) de um círculo centrado na origem e com raio unitário. O segundo limite de integração mostra onde foi exatamente o corte paralelo ao eixo y. Como x varia de 0 a -1, temos que esse corte foi exatamente no eixo y. Ou seja, a região é intersecção de um círculo centrado na origem e com raio unitário com o 3º quadrante.
Esboço da região:
- pedacocirc.png (3.07 KiB) Visualizado 1481 vezes
A mudança para coordenadas polares, nesse caso, permite que você caminhe pela figura seguindo a sua simetria (fixando um ângulo, varia-se o r entre limites constantes e depois varia-se o ângulo também entre limites constantes). Observe:
- CodeCogsEqn3.gif (4.86 KiB) Visualizado 1481 vezes
No geral,sempre que tiver algum tipo de simetria circular na figura talvez valha à pena fazer mudança para coordenadas polares.
Re: Coordenadas Polares - Como fazer a mudança?
14 dez 2016, 15:28
O valor do integral inicial, em coordenadas cartesianas, é o simétrico do indicado... a integração em x é feita entre 0 e -1 e não entre -1 e 0.