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MensagemEnviado: 03 jun 2015, 14:33 
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Mude a integral abaixo (integral cartesiana) para integral polar.

\(\int_{0}^{-1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{0}\,\frac{2}{1+x^2+y^2}\,dydx\)

Estou passando aperto em fazer essa mudança :( Resolver a integral depois de feita a mudança é algo muito tranquilo.

Alguém me explica por favor de forma bem detalhada como consigo os valores para os limites de integração em relação a "Theta" e a "r" em coordenadas polares?

Uma outra dúvida: e se tivesse a mesma integral mas tivesse em relação a x primeiro e depois em relação a y, o que mudaria?

Muito agradecido


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MensagemEnviado: 14 dez 2016, 09:20 
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A ordem de integração (primeiro em relação a y e depois em relação a x ou o contrário) mostra sobre qual região se está integrando.
Na integral que você forneceu, por exemplo, fixando x, vemos que y varia de -(1-x²)^(1/2) até 0, o que mostra que a região é obtida após dois cortes (um paralelo ao eixo y e outro exatamente no eixo x) de um círculo centrado na origem e com raio unitário. O segundo limite de integração mostra onde foi exatamente o corte paralelo ao eixo y. Como x varia de 0 a -1, temos que esse corte foi exatamente no eixo y. Ou seja, a região é intersecção de um círculo centrado na origem e com raio unitário com o 3º quadrante.
Esboço da região:
Anexo:
pedacocirc.png
pedacocirc.png [ 3.07 KiB | Visualizado 1389 vezes ]

A mudança para coordenadas polares, nesse caso, permite que você caminhe pela figura seguindo a sua simetria (fixando um ângulo, varia-se o r entre limites constantes e depois varia-se o ângulo também entre limites constantes). Observe:
Anexo:
CodeCogsEqn3.gif
CodeCogsEqn3.gif [ 4.86 KiB | Visualizado 1389 vezes ]

No geral,sempre que tiver algum tipo de simetria circular na figura talvez valha à pena fazer mudança para coordenadas polares.


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MensagemEnviado: 14 dez 2016, 15:28 
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O valor do integral inicial, em coordenadas cartesianas, é o simétrico do indicado... a integração em x é feita entre 0 e -1 e não entre -1 e 0.


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