Calcule a derivada direcional da função dada, no ponto indicado, segundo a direção do versor...

[Niko]

Não sei se é exatamente aqui que deveria postar essa dúvida, mas não estou conseguindo resolver. Tenho muitas dúvidas.

Anexos

DERIVADA DIRECIONAL..jpg (24.87 KiB) Visualizado 5190 vezes

[Niko]

Não sei se é exatamente aqui que deveria postar essa dúvida, mas não estou conseguindo resolver. Tenho muitas dúvidas.

Por enquanto consegui fazer os seguintes cálculos:

\(\underset{v}{\rightarrow}(1,-1)\)
\(\underset{u}{\rightarrow}=< \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}}>\)
\(f(x,y)=sen(2x)cos(2y)\)
\(Duf(x,y)=fx(x,y).u_{1}+fy(x,y).u_{2}\)
\(fx=2cos(2x)cos(2y)\)
\(fy=sen(2x)...?\) (é aqui que estou tendo problemas: NÃO SEI QUAL A DERIVADA DE \(cos(2y)\)
Sei que \(u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) e que \(u_{2}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\)

Outra coisa que tenho dúvida é se transformo o \((a,b)=(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})\) em \((a,b)=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})\), considerando que estou fazendo cosseno e seno dos referidos ângulos.

Preciso muito de ajuda.
Por favor....

[Niko]

Não sei se é exatamente aqui que deveria postar essa dúvida, mas não estou conseguindo resolver. Tenho muitas dúvidas.

Por enquanto consegui fazer os seguintes cálculos:

\(\underset{v}{\rightarrow}(1,-1)\)
\(\underset{u}{\rightarrow}=< \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-1}{\sqrt{2}}>\)
\(f(x,y)=sen(2x)cos(2y)\)
\(Duf(x,y)=fx(x,y).u_{1}+fy(x,y).u_{2}\)
\(fx=2cos(2x)cos(2y)\)
\(fy=sen(2x)...?\) (é aqui que estou tendo problemas: NÃO SEI QUAL A DERIVADA DE \(cos(2y)\)
Sei que \(u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) e que \(u_{2}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\)

Outra coisa que tenho dúvida é se transformo o \((a,b)=(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})\) em \((a,b)=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})\), considerando que estou fazendo cosseno e seno dos referidos ângulos.

Preciso muito de ajuda.
Por favor....

Gente, estou desesperado. Me ajudem, por favor!

[Sobolev]

\(D_u f(x,y) = f'_x u_1 + f'_y u_2 = 2 \cos(2x) \cos (2y) \frac{1}{\sqrt{2}} + \sin (2y) (-2 \sin (2y)) \frac{-1}{\sqrt{2}}\)

Agora apenas tem que substituir x por \(\pi/6\) e y por \(-5 \pi/6\) e obterá o valor da derivada direccional.

[Niko]

Pode conferir se está certo?

\(D_{u}f(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})=2cos(\frac{2\pi }{6})cos(\frac{2(-5\pi )}{6}).\frac{1}{\sqrt{2}}+sen(\frac{2\pi }{6})(-2sen(\frac{2(-5\pi )}{6}).(-\frac{1}{\sqrt{2}})\)

\(D_{u}f(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})=2cos(\frac{\pi }{3})(-cos(\frac{5\pi }{3}).\frac{1}{\sqrt{2}}+sen(\frac{\pi }{3})(2sen(\frac{5\pi )}{3}).(-\frac{1}{\sqrt{2}})\)

\(D_{u}f(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})=2(\frac{1 }{2})(-\frac{1 }{2}).\frac{1}{\sqrt{2}}+(\frac{\sqrt{3} }{3})(2(-\frac{\sqrt{3} )}{2}).(-\frac{1}{\sqrt{2}})\)

\(D_{u}f(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})=(-\frac{2 }{4})\frac{1} {\sqrt{2}}+\frac{(\sqrt{3} )^2}{3\sqrt{2}})\)

\(D_{u}f(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})=-\frac{2 }{\sqrt{2}}+\frac{1} {\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

[Sobolev]

Tem um erro nos cálculos finais... O valor final é \(\sqrt{2}\).

[Niko]

Tenho que multiplicar em cima e embaixo o \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) por \(-\sqrt{2}\) para conseguir esse resultado?

[Niko]

\(f(x,y)=sen(2x)cos(2y)\)
\(\left | \underset{V}{\rightarrow} \right |=\sqrt{(1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\)
\(\underset{U}{\rightarrow}=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(f'x=2cos(2x)cos(2y)\)
\(f'y=sen(2x)(-2sen(2y))\)
\(D_{U}f(x,y)=f'xu_{1}+f'yu_{2}\)
\(D_{U}f(x,y)=2cos(2x)cos(2y)\frac{1}{\sqrt{2}}+sen(2x)(-2sen(2y))(-\frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(D_{U}(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})=2cos(\frac{2\pi }{6})cos(\frac{2(-5)\pi }{6})(\frac{1}{\sqrt{2}})+sen(\frac{2\pi }{6})(-2sen(\frac{2(-5)\pi }{6}))(-\frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(D_{U}(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})=2cos(\frac{\pi }{3})(-cos(\frac{5\pi }{3})(\frac{1}{\sqrt{2}})+sen(\frac{\pi }{3})(2sen(\frac{5\pi }{3}))(-\frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(D_{U}f(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})=2(\frac{1 }{2})(-\frac{1 }{2})(\frac{1}{\sqrt{2}})+(\frac{\sqrt{3} }{3})(2(-\frac{\sqrt{3} }{2}))(-\frac{1}{\sqrt{2}})\)
\(D_{U}f(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})=(-\frac{2 }{4})(\frac{1}{\sqrt{2}})+(\frac{(\sqrt{3})^2 }{3\sqrt{2}})\)
\(D_{U}f(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})=-\frac{2 }{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(D_{U}f(\frac{\pi }{6},\frac{-5\pi }{6})=-\frac{1.\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)