Limites - Indeterminação do tipo 0/0 [resolvida]
21 jan 2015, 20:54
\(\lim _{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{\frac{4\, x}{x\, ^{2}+1}}{\frac{x\, ^{2}}{2\, x\, ^{4}+1}} \right )\)
Olá a todos, a minha dúvida não reside no levantamento da indeterminação, mas sim no processo que me permitiu concluir que no limite indicado em cima está presente uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\).
Como é que eu sei que é este tipo de indeterminação que está presente no referido limite?
Agradeço se alguém me puder ajudar
Olá a todos, a minha dúvida não reside no levantamento da indeterminação, mas sim no processo que me permitiu concluir que no limite indicado em cima está presente uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\).
Como é que eu sei que é este tipo de indeterminação que está presente no referido limite?
Agradeço se alguém me puder ajudar
Re: Limites - Indeterminação do tipo 0/0
21 jan 2015, 23:50
Oi!
Vamos analisar a primeira fração:
4 * (número negativo muito grande) --> Isso vai dar um número negativo muito grande
x² --> É um número sempre positivo --> Número muito grande positivo
Agora analisando a segunda fração:
x² --> É um número sempre positivo --> Número muito grande positivo
2x^4 + 1 --> Número muito grande sempre positivo
Ao meu ver está dando indeterminação do tipo infinito/infinito.
Vamos ver o que pessoal do fórum diz.
Vamos analisar a primeira fração:
4 * (número negativo muito grande) --> Isso vai dar um número negativo muito grande
x² --> É um número sempre positivo --> Número muito grande positivo
Agora analisando a segunda fração:
x² --> É um número sempre positivo --> Número muito grande positivo
2x^4 + 1 --> Número muito grande sempre positivo
Ao meu ver está dando indeterminação do tipo infinito/infinito.
Vamos ver o que pessoal do fórum diz.
Re: Limites - Indeterminação do tipo 0/0
22 jan 2015, 01:28
Vamos primeiro simplificar a fração.
\(\lim _{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{\frac{4\, x}{x\, ^{2}+1}}{\frac{x\, ^{2}}{2\, x\, ^{4}+1}} \right )=\lim _{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{4(2x^{4}+1)}{x(x^2+1)}\right )\)
Agora vamos por partes. Ou seja, vamos analisar cada polinómio para tirar conclusões.
Para o numerador reparemos no termo em x. O grau de x é 4. Como é par, qualquer que seja x, \(x^{4}>0\), ou seja, assim conclui-se que o numerador quando tende para -∞ o resultado será +∞.
\(\lim _{x\rightarrow -\infty }\left (4(2x^4+1) \right )=+\infty\)
Olhando para o denominador o caso irá ser diferente. Porque se \(x\rightarrow -\infty\): \(x<0 \: \wedge \: x^2+1>0\), assim conclui-se que o resultado será negativo quando x tende para -∞.
\(\lim _{x\rightarrow -\infty }\left (x(x^2+1) \right )=-\infty\)
Comparando o denominador com o numerador reparamos que como o numerador é de grau maior que o denominador, quando x tende para +∞, o numerador vai "crescer" mais rápido que o denominador.
Sendo assim
\(\lim _{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{4(2x^{4}+1)}{x(x^2+1)}\right )=\frac{+\infty }{-\infty }=-\infty\)
Apesar de ser um cálculo absurdo, não é propriamente uma indeterminação porque sabemos que à medida que x tende para +∞ o numerador será sempre positivo e o denominador será negativo.
Agora considerando a questão inicial da indeterminação do tipo 0/0, neste limite seria impossível. Visto que o polinómio do numerador não tem soluções reais e na forma simplificada não aparecem apenas termos em x. Por exemplo se tentarmos calcular quando \(x\rightarrow 0\)
\(\lim _{x\rightarrow 0 }\left (\frac{4(2x^{4}+1)}{x(x^2+1)}\right )=\frac{4(2\times 0^4+1)}{0(0^2+1)}=\frac{4\times 1}{0}\)
O que não é uma indeterminação 0/0. Este tipo de indeterminações acontecem em essencialmente dois casos: quando para o mesmo valor de x, seja soluções reais do numerador e do denominador ou então ter de tal forma que ao simplificar apareçam apenas termos em x (nesse caso quando x tende para 0 será 0 nas duas fazendo a tal indeterminação 0/0)
\(\lim _{x\rightarrow -\infty }\left ( \frac{\frac{4\, x}{x\, ^{2}+1}}{\frac{x\, ^{2}}{2\, x\, ^{4}+1}} \right )=\lim _{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{4(2x^{4}+1)}{x(x^2+1)}\right )\)
Agora vamos por partes. Ou seja, vamos analisar cada polinómio para tirar conclusões.
Para o numerador reparemos no termo em x. O grau de x é 4. Como é par, qualquer que seja x, \(x^{4}>0\), ou seja, assim conclui-se que o numerador quando tende para -∞ o resultado será +∞.
\(\lim _{x\rightarrow -\infty }\left (4(2x^4+1) \right )=+\infty\)
Olhando para o denominador o caso irá ser diferente. Porque se \(x\rightarrow -\infty\): \(x<0 \: \wedge \: x^2+1>0\), assim conclui-se que o resultado será negativo quando x tende para -∞.
\(\lim _{x\rightarrow -\infty }\left (x(x^2+1) \right )=-\infty\)
Comparando o denominador com o numerador reparamos que como o numerador é de grau maior que o denominador, quando x tende para +∞, o numerador vai "crescer" mais rápido que o denominador.
Sendo assim
\(\lim _{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{4(2x^{4}+1)}{x(x^2+1)}\right )=\frac{+\infty }{-\infty }=-\infty\)
Apesar de ser um cálculo absurdo, não é propriamente uma indeterminação porque sabemos que à medida que x tende para +∞ o numerador será sempre positivo e o denominador será negativo.
Agora considerando a questão inicial da indeterminação do tipo 0/0, neste limite seria impossível. Visto que o polinómio do numerador não tem soluções reais e na forma simplificada não aparecem apenas termos em x. Por exemplo se tentarmos calcular quando \(x\rightarrow 0\)
\(\lim _{x\rightarrow 0 }\left (\frac{4(2x^{4}+1)}{x(x^2+1)}\right )=\frac{4(2\times 0^4+1)}{0(0^2+1)}=\frac{4\times 1}{0}\)
O que não é uma indeterminação 0/0. Este tipo de indeterminações acontecem em essencialmente dois casos: quando para o mesmo valor de x, seja soluções reais do numerador e do denominador ou então ter de tal forma que ao simplificar apareçam apenas termos em x (nesse caso quando x tende para 0 será 0 nas duas fazendo a tal indeterminação 0/0)
Re: Limites - Indeterminação do tipo 0/0
22 jan 2015, 01:47
Era para colocar exemplos dos dois tipos de limites que irão dar indeterminações 0/0 perante alguns casos:
Por exemplo para o caso de apenas apresentar, quando simplificado apenas termos em x (que no fundo tem o mesmo significado que o outro exemplo) mas sabe-se sempre que quando x tende para 0 irá dar uma indeterminação.
\(\frac{(x+1)^2-1}{x}=\frac{x^2+2x}{x}\)
O que eu sei é que 0 é solução real do denominador e do numerador portanto sei que quando:
\(\lim _{x\rightarrow 0 }\left (\frac{x^2+2x}{x} \right )=\frac{0}{0}\)
O outro exemplo e no caso de aparecerem termos independentes de x, a indeterminação 0/0 apenas aparecerá se alguma das soluções reais do numerador e do denominador forem iguais.
\(\frac{x^2-6x+9}{x-3}\)
Para o polinómio \(x^2-6x+9=\)\(0\) vem \(x=3\)
Para o polinómio \(x-3=0\) vem \(x=3\)
Tendo duas soluções iguais, eu tenho a certeza que quando x tender para 3 dará uma indeterminação do tipo 0/0:
\(\lim _{x\rightarrow 3 }\left (\frac{x^2-6x+9}{x-3} \right )=\frac{0}{0}\)
Por exemplo para o caso de apenas apresentar, quando simplificado apenas termos em x (que no fundo tem o mesmo significado que o outro exemplo) mas sabe-se sempre que quando x tende para 0 irá dar uma indeterminação.
\(\frac{(x+1)^2-1}{x}=\frac{x^2+2x}{x}\)
O que eu sei é que 0 é solução real do denominador e do numerador portanto sei que quando:
\(\lim _{x\rightarrow 0 }\left (\frac{x^2+2x}{x} \right )=\frac{0}{0}\)
O outro exemplo e no caso de aparecerem termos independentes de x, a indeterminação 0/0 apenas aparecerá se alguma das soluções reais do numerador e do denominador forem iguais.
\(\frac{x^2-6x+9}{x-3}\)
Para o polinómio \(x^2-6x+9=\)\(0\) vem \(x=3\)
Para o polinómio \(x-3=0\) vem \(x=3\)
Tendo duas soluções iguais, eu tenho a certeza que quando x tender para 3 dará uma indeterminação do tipo 0/0:
\(\lim _{x\rightarrow 3 }\left (\frac{x^2-6x+9}{x-3} \right )=\frac{0}{0}\)
Re: Limites - Indeterminação do tipo 0/0
22 jan 2015, 02:14
Peço desculpa estar a responder por tópicos mas para mim permite-me organizar as ideias.
\(\frac{4(2x^{4}+1)}{x(x^2+1)}\) não haverá indeterminações 0/0 (como mostrado atrás)
Apesar de:
\(\frac{\frac{4\, x}{x\, ^{2}+1}}{\frac{x\, ^{2}}{2\, x\, ^{4}+1}}= \frac{4(2x^{4}+1)}{x(x^2+1)\)
Para ver as indeterminações do tipo 0/0 tem de ser separado devido a serem polinómios diferentes (no fundo o Domínio do primeiro caso não foi levado para o segundo caso, o que é um erro frequente para quando não se trabalha com o infinito, para o calculo de limites a tender para ao infinito ou menos infinito o domínio será R excepto alguns números o que torna irrelevante para o infinito e é por isso que se usa a simplificação para calcular tais limites. Mas quando se trata x a tender para 0 ou para um número finito pequeno, o mesmo já não será verdade como vamos ver):
Como disse anteriormente, as indeterminações 0/0 aparecem se as soluções reais (caso existam) do numerador e do numerador seja igual. Então é o que vamos fazer.
\(\frac{4x}{x^2+1}=0\), solução: \(x=0\)
\(\frac{x^2}{2x^4+1}=0\), solução: \(x=0\)
Então:
\(\lim _{x\rightarrow 0 }\left ( \frac{\frac{4\, x}{x\, ^{2}+1}}{\frac{x\, ^{2}}{2\, x\, ^{4}+1}} \right )=\frac{0}{0}\)
Espero ter ajudado
\(\frac{4(2x^{4}+1)}{x(x^2+1)}\) não haverá indeterminações 0/0 (como mostrado atrás)
Apesar de:
\(\frac{\frac{4\, x}{x\, ^{2}+1}}{\frac{x\, ^{2}}{2\, x\, ^{4}+1}}= \frac{4(2x^{4}+1)}{x(x^2+1)\)
Para ver as indeterminações do tipo 0/0 tem de ser separado devido a serem polinómios diferentes (no fundo o Domínio do primeiro caso não foi levado para o segundo caso, o que é um erro frequente para quando não se trabalha com o infinito, para o calculo de limites a tender para ao infinito ou menos infinito o domínio será R excepto alguns números o que torna irrelevante para o infinito e é por isso que se usa a simplificação para calcular tais limites. Mas quando se trata x a tender para 0 ou para um número finito pequeno, o mesmo já não será verdade como vamos ver):
Como disse anteriormente, as indeterminações 0/0 aparecem se as soluções reais (caso existam) do numerador e do numerador seja igual. Então é o que vamos fazer.
\(\frac{4x}{x^2+1}=0\), solução: \(x=0\)
\(\frac{x^2}{2x^4+1}=0\), solução: \(x=0\)
Então:
\(\lim _{x\rightarrow 0 }\left ( \frac{\frac{4\, x}{x\, ^{2}+1}}{\frac{x\, ^{2}}{2\, x\, ^{4}+1}} \right )=\frac{0}{0}\)
Espero ter ajudado
Re: Limites - Indeterminação do tipo 0/0
22 jan 2015, 03:11
Boa noite, agradeço imenso pelas respostas dadas!
Pedrodaniel, a sua explicação foi de grande ajuda porque me permitiu reconhecer que o erro está na fonte de onde retirei o exercício.
E o mais importante fiquei com uma noção de como analisar limites. Apenas não entendi o porquê de quando x tende para mais infinito o numerador crescer mais rápido do que o denominador. Será que me podia explicar isto em detalhe?
Peço desculpa pelo incómodo. Obrigada
Pedrodaniel, a sua explicação foi de grande ajuda porque me permitiu reconhecer que o erro está na fonte de onde retirei o exercício.
E o mais importante fiquei com uma noção de como analisar limites. Apenas não entendi o porquê de quando x tende para mais infinito o numerador crescer mais rápido do que o denominador. Será que me podia explicar isto em detalhe?
Peço desculpa pelo incómodo. Obrigada
Re: Limites - Indeterminação do tipo 0/0
22 jan 2015, 16:46
Como sabemos que o numerador "cresce" mais depressa que o denominador:
De um ponto de vista de matemática informal, peguemos num número grande finito (dentro do limite das calculadoras) como 10 000 e 11 000 e calculemos para o polinómio do numerador P(N) e do denominador P(D)
Para o P(N) x=10 000 e x=11 000
\(P(N)=4(2x^4+1)=4(2\times 10000^4+1)=8\times 10^{16}\)
\(P(N)=4(2x^4+1)=4(2\times 11000^4+1)=11,7\times 10^{16}\)
Para o P(D) x=10 000 e x=11 000
\(P(D)=x(x^2+1)=10000(10000^2+1)=1\times 10^{12}\)
\(P(D)=x(x^2+1)=11000(11000^2+1)=1,33\times 10^{12}\)
No mesmo intervalo, P(N) cresceu mais que P(D). Mantendo as grandezas, enquando P(N) passou de 8 para 11.7, P(D) passou de 1 para 1.33
Eu não frisei isto mas este foi o motivo principal de considerar que a expressão quando x tendia para menos infinito, a expressão tendia também para - infinito.
Por si só \(\frac{+\infty }{-\infty }\) não significa nada matematicamente, e é apenas uma indeterminação.
Agora pergunta, sendo assim porque utilizei esse cálculo absurdo e não considerei como uma indeterminação.
Simples, por quando se está a calcular um limite, tem de se ter atenção às expressões que estão presentes
E sabendo que quando \(x\rightarrow -\infty\),
--> P(D) é negativo e P(N) é positivo (o resultado é obviamente um número negativo)
--> P(N)>P(D) (Se o numerador será sempre maior que denominador então quanto maior for x, maior vai ser o resultado da expressão, assim vai para o infinito)
Então vai tender para o infinito e vai ser negativo, logo vai tender para menos infinito.
Observe-se que se trocarmos os polinómios: \(\frac{P(D)}{P(N)}\)
Quando \(x\rightarrow -\infty\)
Teriamos algo como \(\frac{-\infty }{+\infty }\) e isto não irá dar certamente menos infinito, mas sim 0.
Por si só é uma indeterminação infinito/infinito tal como disse o colega Estudioso
De um ponto de vista de matemática informal, peguemos num número grande finito (dentro do limite das calculadoras) como 10 000 e 11 000 e calculemos para o polinómio do numerador P(N) e do denominador P(D)
Para o P(N) x=10 000 e x=11 000
\(P(N)=4(2x^4+1)=4(2\times 10000^4+1)=8\times 10^{16}\)
\(P(N)=4(2x^4+1)=4(2\times 11000^4+1)=11,7\times 10^{16}\)
Para o P(D) x=10 000 e x=11 000
\(P(D)=x(x^2+1)=10000(10000^2+1)=1\times 10^{12}\)
\(P(D)=x(x^2+1)=11000(11000^2+1)=1,33\times 10^{12}\)
No mesmo intervalo, P(N) cresceu mais que P(D). Mantendo as grandezas, enquando P(N) passou de 8 para 11.7, P(D) passou de 1 para 1.33
Eu não frisei isto mas este foi o motivo principal de considerar que a expressão quando x tendia para menos infinito, a expressão tendia também para - infinito.
Por si só \(\frac{+\infty }{-\infty }\) não significa nada matematicamente, e é apenas uma indeterminação.
Agora pergunta, sendo assim porque utilizei esse cálculo absurdo e não considerei como uma indeterminação.
Simples, por quando se está a calcular um limite, tem de se ter atenção às expressões que estão presentes
E sabendo que quando \(x\rightarrow -\infty\),
--> P(D) é negativo e P(N) é positivo (o resultado é obviamente um número negativo)
--> P(N)>P(D) (Se o numerador será sempre maior que denominador então quanto maior for x, maior vai ser o resultado da expressão, assim vai para o infinito)
Então vai tender para o infinito e vai ser negativo, logo vai tender para menos infinito.
Observe-se que se trocarmos os polinómios: \(\frac{P(D)}{P(N)}\)
Quando \(x\rightarrow -\infty\)
Teriamos algo como \(\frac{-\infty }{+\infty }\) e isto não irá dar certamente menos infinito, mas sim 0.
Por si só é uma indeterminação infinito/infinito tal como disse o colega Estudioso
Re: Limites - Indeterminação do tipo 0/0
22 jan 2015, 18:41
Obrigada Estudioso e pedrodaniel por terem esclarecido na totalidade esta questão!