Demonstrar que a função é sobrejetora

[davi.simões]

Sejam IN o conjunto dos números naturais e f : IN → IN uma função que satisfaz as propriedades:

a) dado qualquer m ∊ IN existe n ∊ IN tal que f(n) ≥ m

b)A = {s ∊ IN ; s ≤ f(r) } está no conjunto imagem de f ,para todo r ∊ IN

Mostre que f é sobrejetora.

[Sobolev]

A condição a) diz que a função assume valores arbitrariamente grandes, enquanto que a condição b) garante que todos os inteiros inferiores a um qualquer valor de f pertencem também à imagem. Ora, se todos os inteiros inferiores a inteiros arbitrariamente grandes pertencem à imagem de f, a imagem de f tem que ser \(\mathbb{N}\), sendo a função "sobrejectora".

[davi.simões]

então basicamente oque quer dizer é que se eu tenho imagens maiores ou iguais que qualquer natural e ao mesmo tempo eu tenho imagens menores ou iguais a um natural qualquer quer dizer que eu tenho a imagem de todos os naturais portanto ela é sobrejetora o meu raciocínio sobre a resposta está correto ?

[Sobolev]

A primeira parte está clara: existem imagens tão grandes quanto quisermos. A segunda parte não estou certo que tenho compreendido completamente... Dada uma imagem m, todos os naturais inferiores ou iguais a m também são imagens. Por exemplo, se 10000 for imagem, todos os inteiros inferiores ou iguais a 10000 são imagens. Como este limite dos 10000 pode ser elevado tanto quanto quisermos (primeira parte), então todo o natural vai estar na imagem.

[davi.simões]

obrigado eu acredito que seja isso mesmo pois como temos qualquer imagem maior que qualquer natural e também um natural qualquer que é menor que a imagem de qualquer natural isso quer dizer que temos todos os naturais