numero de pontos adquiridos em um jogo

[matheus08]

Bom dia, gostaria de uma ajuda

Depois de duas rodadas em um jogo de perguntas e respostas, Antônio triplicou seus pontos e perdeu 11 deles a cada
rodada seguinte. Se no final da 6ª rodada, Antônio tinha 46 pontos, então o número de pontos que Antônio tinha no
final da 2ª rodada era:

A) 4. B) 5. C) 6. D) 7. E) 8.

Gabarito letra C

[Rui Carpentier]

O mais simples (com menos teoria) é pegar em cada opção e aplicar a operação \(x\mapsto 3x-11\) quatro vezes e ver qual delas dá 46. Um método mais analítico é observar que estamos perante uma sucessão definida por recorrência \(x_{n+1}=3x_n-11\) em que nos é dado que \(x_6=46\) e nos é pedido o valor de \(x_2\). Uma sucessão por recorrência do tipo \(x_{n+1}=ax_n-b\) tem como solução geral \(x_n=c a^{n}+\frac{b}{a-1}\) onde \(c\) é uma constante. Assim a nossa sucessão tem a forma \(x_n= c3^n+\frac{11}{2}\) e podemos determinar a constante c através da equação \(x_6=c3^6+\frac{11}{2}=46\) donde sai \(c=\frac{1}{18}\). Logo, \(x_n=\frac{3^{n-2}+11}{2}\) e portanto \(x_2=\frac{1+11}{2}=6\).