Olá , a priori o objetivo deste post foi estabelecer sobre que hipóteses , a coleção das funções contínuas de um espaço topológico em um espaço métrico , pode se torna um espaço métrico usando a métrica do ambiente onde estas funções toma valores , e em caso afirmativo ,investigar quando este novo espaço métrico será completo ... Estou editando novamente , consertando alguns "typos" , incoerência com a notação e algumas correções .
Por favor , peço que avaliem minha demonstração , principalmente o lema 2 ...
Qualquer sugestão é bem vinda !
Desde já obrigado ...
Sejam \(X, W\) espaços topológicos e \((M,d_M)\) um espaço métrico .
Notações : \(Map(X,M)\) Coleção de todas funções \(X \longrightarrow M\) \(C(X,M)\) Coleção de todas funções \(X \longrightarrow M\) contínuas \(D(X,M)\) Coleção de todas funções descontínuas \(X \longrightarrow M\)
Observe-se que em geral \(Map(X,M)\) não tem uma estrutura de espaço métrico interessante , que por exemplo convergência nesta métrica garantisse convergência uniforme .. Mas é possível , escrever esta família , como união disjunta de espaços métricos com tal propriedade . Esta decomposição por sua vez nos motiva a definir pelo menos uma topologia mais 'nice' em \(Map(X,Y)\) , caso seja de interesse estudar certas propriedades topológicas , para famílias mais gerais de aplicações com comportamentos 'estranhos ' , declarando que um subconjunto desta coleção \(U\) será aberto sse , \(U\) é aberto relativamente a cada espaço métrico acima ..
Para a família \(B(X,M)\) das funções limitadas , definimos a métrica do sup (ou da convergência uniforme em \(X\) ) ) \(d_{\infty} (f,g) := \sup_{x} d_{M}(f(x),g(x))\) .
Agora, para cada \(f \in Map(X,M)\) , ponha \(B_{f}(X,M) := \{ g \in Map(X,M) : \sup_{x} d_{M}(f(x),g(x)) < + \infty \}\) . Em cada coleção destas (que não é vazia sempre !) faz sentindo definir uma métrica análoga a \(d_{\infty}\) da maneira óbvia
\((d_{\infty}^f (g,h) :=\sup_{x} d_{M}(h(x),g(x))\) ... Assim , cada \(B_{f}(X,M)\) torna-se um espaço métrico com esta métrica . Pode-se verificar que , \((\forall f,g)\) ou \(B_{f}(X,M) = B_{g}(X,M)\) ou são disjuntas . Basta notar que \(B_{f}(X,M)\) é precisamente a classe de equivalência de \(f\) pela relação em \(\sim\) em \(Map(X,M)\) definida por \(g \sim h\) sse \(\sup_{x} d_{M}(h(x),g(x)) < +\infty\) e portanto o coleção de todas estas classes \(Map(X,M) /_{\sim}\) é uma partição para \(Map(X,M)\) .
Note que \(B(X,M) = B_f(X,M)\) sse \(f \in B(X,M)\) , em particular vale a igualdade com \(f\) constante . ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Fatos :
(1) A é fechado em Y sse toda sequencia em A convergindo em Y converge em A . Falso : Correção : Fui notificado por meu professor que a reciproca de (1) não vale em geral . Por exemplo ,tome qualquer conjunto \(G\) com pelo menos dois elementos com a topologia indiscreta \(\{ G, \empty \}\) . Dado \(a \in G\) ,qualquer sequência de elementos de \(\{a\}\) é a sequência constante \((a,a,a,a, \dots )\) que é convergente em \(G\) e converge para \(a\) . Por outro lado , temos \(G \setminus \{a\} \notin \{G , \empty\}\) .Donde, \(\{ a\}\) não pode ser fechado em \((G, \{ G, \empty \} )\), . Entretanto , a outra direção sempre vale em geral .
Parece que em espaços métricos mais gerais (não triviais ) a volta também vale . De qualquer forma , vamos usar um argumento alternativo para evitar (1) .
(2) Seja \(F \in C(X,W)\) . Então , toda sequencia \((x_n) \subset X\) convergente , digamos para \(a\) , implica na convergência de \((F(x_n)) \subset W\) para \(F(a)\) .
(3) Defina a topologia produto em \(X \times W\) . Então ,
\((x_n,y_n) \subset X \times W\) converge para \((a,b)\) sse \(x_n \to a , y_n \to b\)
(4) Seja \((a_n ) \subset \mathbb{R}\) convergente. Então ,
Se \(a_n \leq R\) para \(n\) suficiente grande então \(\lim_{n} a_n \leq R\) .
(5) Se \((M, d_M)\) é completo, e \(S\)é um subespaço de \(M\) (com a métrica relativa \(d_M\) restrita a \(S \times S\) ) , então \(S\) é fechado em \(M\) sse \(S\) é completo .
Demonstração :
Se \(S\) não é completo afirmamos que \(S\) não é fechado . De fato , tome uma sequência de cauchy em \(S\) , digamos \((x_n)\) , que não converge em \(S\), mas que converge em \(M\) para \(a \in S^{C}\) . Ora, dado qualquer \(\epsilon > 0\) , temos eventualmente \(x_n \in B_{\epsilon}^{d_M} (a)\) donde \(a\) não é ponto interior de \(S^{C}\) (e portanto \(S^C\) não é aberto) o que mostrar que \(S\) não é fechado .
Reciprocamente , se \(S\) não é fechado , então \(\overline{S} \setminus S\) não é vazio ! Fixe \(x_0 \in \overline{S} \setminus S\) . Para cada \(n = 1 , 2 , \dots\) , a bola centrada em \(x_0\) de raio \(1/n\) intercepta \(S\) . Tome \(x_n\) na intersecção .Então , temos \(d_{M} (x_n, x_0) < \frac{1}{n}\) . Por construção , \((x_n)\) é uma sequência de elementos de \(S\) que converge em \(M\) para \(x_0 \in \overline{S} \setminus S\) .Como toda sequência convergente num espaço métrico é de Cauchy (Independente dele ser completo ou não ) , obtemos uma sequência de cauchy em \(S\) que não converge para ponto nenhum de \(S\) (Por unicidade do limite de sequência em Espaço métricos que são Espaço de Hausdorff com a topologia induzida pela métrica ) ,donde \(S\) não é completo .
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Lema 1 : Para cada \(f\) , \(C(X,M) \cap B_f(X,M)\) é um subespaço fechado de \(B_{f}(X,M)\) .
Dem .: Este resultado é equivalente a mostrar que \(D(X,M) \cap B_f(X,M)\) é um subespaço aberto de \(B_{f}(X,M)\) .
Dado \(g \in D(X,M) \cap B_f(X,M)\) afirmamos que existe \(\delta > 0\) tal que \(B_{\delta}^{d_{\infty}^{f}}(g) \subseteq D(X,M) \cap B_f(X,M)\) . Como \(g\) não é contínua , existem \(x_0 \in X , \epsilon_0 > 0\) tal que para todo \(U \ni x_0\) aberto (em \(X\) ) existe \(x :=x(U)\) tal que
\(x \in U\) , mas \(d_{M}( g(x) ,g(x_0)) > \epsilon_0\) .
Escolha \(0 < \epsilon_1 < \epsilon_0/2\) e ponha \(\epsilon^* := \epsilon_0 - 2\epsilon_1 > 0\) , \(\delta := \epsilon_1\) . Seja \(h \in B_{\delta}^{d_{\infty}^{f}}(g)\) (arbitrário )
Pela desigualdade do triângulo ,
\(\epsilon_0 < d_M(g(x),g(x_0)) \leq d_M(g(x) ,h(x)) + d_M(g(x_0), h(x_0)) + d_M(h(x),h(x_0)) \leq 2 d_{\infty}^f(g,h) + d_M(h(x_0), h(x)) < 2 \delta + d_M(h(x), h(x_0))\) , donde
\(d_M(h(x), h(x_0)) > \epsilon_0 - 2 \epsilon_1 = \epsilon^* > 0\) .
Logo , \(h\) não é contínua em \(x_0\) e assim temos \(h \in D(X,M) \cap B_f(X,M)\) donde resultado segue ...
Em particular a coleção \(C_B(X,M)\) das aplicações \(X : \longrightarrow M\) limitadas contínuas é um subespaço fechado de \(B(X,M)\) . .
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