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Integral dupla \(\int \; \int \; 1-|x|-|y| \; dA\) , e , \(\mathbb{D} \;: \; |x|+|y|=1\)?
como faco para calcular integra dupla com modulo
Alguém poderia me ajudar ?

Olá :D


Seja bem-vindo (a) ao fórum.



O primeiro a se fazer é esboçar a região D : \(|x|+|y|=1\) :


veja que teremos quatros casos, de acordo com os sinais de cada quadrante :


1º quadrante, x>0 e y>0 então a função ficará : \(y=1-x\)

2º quadrante, x<0 e y>0 então a função ficará : \(y=1+x\)

3º quadrante, x<0 e y<0 então a função ficará : \(y=-x-1\)

4º quadrante, x>0 e y<0 então a função ficará : \(y=x-1\)


O gráfico ficará assim.


Veja que se integramos a metade da região D na ordem "x" e multiplicarmos por \(2\), obteremos toda a região.


\(2*\int_{0}^{1} \; \int_{y-1}^{1-y} \; 1-|x|-|y| \; dxdy\)



Vamos resolver a integral iterada:

\(\int_{y-1}^{1-y} \; 1-|x|-|y| \; dx\)




Lembre-se da definição de módulo :

\(|x|= \left\{ x \;\; , \;\; \text{se} \;\; x \geq 0 \\\\ -x \;\; , \;\; \text{se} \;\; x<0\)



segue que :


\(\int_{y-1}^{1-y} 1-|x|-|y| dx = \int_{y-1}^{0} 1+x-|y| \; dx + \int_{0}^{1-y} 1-x-|y| \; dx\)



\(\int_{y-1}^{1-y} \; 1-|x|-|y| \; dx=1-y^2+2*(y-1)|y|\)




agora só nos resta resolver a integral interada:


\(2*\int_{0}^{1} \; 1-y^2+2*(y-1)|y| \; dy\)



Novamente pela definição de módulo:

\(|y|= \left\{ y \;\; , \;\; \text{se} \;\; y \geq 0 \\\\ -y \;\; , \;\; \text{se} \;\; y<0\)


Daí :


\(2*\int_{0}^{1} \; 1-y^2+2*(y-1)|y| \; dy=2*\int_{0}^{1} \; 1-y^2+2*(y-1)y \; dy=\fbox{\fbox{\frac{2}{3}}}\)


Confira com o gabarito.