Teorema de Stokes - Como achar a normal neste caso?

[deutsh_ed]

Olá pessoal, tudo bem?

Minha dúvida é no seguinte exercício:

"Ache o trabalho total realizado pelo campo de força F(x,y,z) = 4y i - 3z j + x k sobre uma partícula que percorre o triângulo (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1)"

Bom, primeiro esbocei o triângulo no plano tridimensional (bem simples) e de cara já sabia a equação f(x,y) = 1-x-y.
Segui os seguintes passos:
* calculei o rotacional de F , rotF = 3 i - j + 4 k
* assim, a integral de superfície ficaria ∫∫ rotF * N e os limites de x e y seriam de 0 a 1.
* porém, não sei como calcular esse N , que é a normal (no livro fala que N = √3/3(i,j,k) , não faço ideia de como chegou nisso )

Minha questão é: como eu acho esse N, quando ele não é uma norma unitária superior (no caso) ?

Agradeço desde já.

[Sobolev]

Bom dia,

O Teorema de Stokes relaciona o integral de linha de um campo vectorial com o integral sobre uma superfície (cujo bordo é a linha anterior) do rotacional do campo vectorial. Neste caso o mais simples será considerar que a tal superfície é justamente o triangulo indicado. Deste modo vê que a normal (cujo sentido é determinado pela regra do "saca-rolhas") é constante emtoda essa superfície, e é dada por \(\vec{n} = \frac{(1,1,1)}{||(1,1,1)||} = (\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})\).

OBS: Como o plano é dado pela equação \(x+y+z=1\), o vector que corresponde aos coeficientes de x,y,z, isto é, (1,1,1), é perpendicular ao plano.