Du VIda em integrais, duas ques toes.

[luzarty]

Pessoal bom dia!
Me deparei com dois exercícios que possuem integrais e não consigo chegar em nem uma resolução com os resultados que já são apresentados como alternativas.

Alguém pode me ajudar na resolução?
Coloquei os exercícios em anexo.

Obrigado desde já!

Anexos

[Sobolev]

1. Se \(y_p(x)\) é solução de \(y''+y'-2y =\sin x\) então

\((A \cos x + B\sin x)'' + (A \cos x + B\sin x)'- 2 (A \cos x + B\sin x) = \sin x\Leftrightarrow
-A \cos x -B \sin x- A\sin x + B \cos x -2A \cos x - 2B \sin x = \sin x \Leftrightarrow
(B-3A) \cos x + (-3B -A)\sin x = \sin x \Leftrightarrow
B - 3A = 0 \wedge -3B-A = 1\Leftrightarrow
A = -1/10 \wedge B=3/10\)

Assim, \(A+B = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac 15\)


Uma pergunta por post...

[luzarty]

1. Se \(y_p(x)\) é solução de \(y''+y'-2y =\sin x\) então

\((A \cos x + B\sin x)'' + (A \cos x + B\sin x)'- 2 (A \cos x + B\sin x) = \sin x\Leftrightarrow
-A \cos x -B \sin x- A\sin x + B \cos x -2A \cos x - 2B \sin x = \sin x \Leftrightarrow
(B-3A) \cos x + (-3B -A)\sin x = \sin x \Leftrightarrow
B - 3A = 0 \wedge -3B-A = 1\Leftrightarrow
A = -1/10 \wedge B=3/10\)

Assim, \(A+B = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac 15\)


Uma pergunta por post...

Interessante, não tinha imaginado assim a maneira de resolução. Agradeço pela ajuda.
"Uma pergunta por post..." >>> Devo iniciar um novo Tópico???

[Sobolev]

No segundo caso apenas tem que aplicar a fórmula de cálculo de um integral de linha quando se dispõe de uma parametrização do caminho. Neste caso,

\(\gamma: [0,1] \mathbb{R}^3, \quad \gamma(t)=(t, 1-t, 1)\)

\(\int_{\gamma} (x-y+z-2) ds = \int_0^1 ||(1, -1,1)|| (t-(1-t)+1-2) dt )= \sqrt{3} \int_0^1 (2t-2)) dt = - \sqrt{3}\)