Duvida com integral

[MarceloRocks]

Pessoal, to com uma duvida de como fazer este exercicio, alguem pode ajudar?

Sabendo que a integral \(\int_{0}^{1}f(x)dx = 3\), a de \(\int_{0}^{4}f(x)dx = -2\) e a de\(\int_{3}^{4}f(x)dx = 7\), encontre a integral de \(\int_{1}^{3}2f(x)dx\)

Minha resposta final deu -14, está certo?

[João P. Ferreira]

Boas

Pela regra fundamental do cálculo

\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\) onde \(F'(x)=f(x)\)

Então sabe

\(\left\{\begin{matrix}
F(1)-F(0)=3\\
F(4)-F(0)=-2\\
F(4)-F(3)=7\end{matrix}\right.\)

e quer achar

\(\int_{1}^{3}2f(x)dx=2\int_{1}^{3}f(x)dx=2(F(3)-F(1))\)

das duas primeiras linhas

\(F(4)+2=F(1)+3\)

\(F(4)-F(1)=1\)

ora isto é o integral

\(\int_{1}^{4}f(x)dx=1\)

que pode ser dividido em

\(\int_{1}^{3}f(x)dx+\int_{3}^{4}f(x)dx=1\)

\((F(3)-F(1))+(F(4)-F(3))=1\)

\((F(3)-F(1))=1-(F(4)-F(3))\)

ora da terceira linha do sistema

\((F(3)-F(1))=1-7\)

\((F(3)-F(1))=-6\)

\(2(F(3)-F(1))=-12\)

ora o resultado é -12
(se não me falharam as contas)

Volte sempre, e boas contribuições.
Sempre que puder ajude por aqui quem precisa

Abraços