Volumes, momentos de inércia, centro de massa de objectos tridimensionais, integrais com mais de uma variável
15 jun 2016, 02:30
Prezados, alguém pode ajudar nessa?
Calcule o valor máximo que a função f(x,y,z)=x²+y²+2.z⁴ atinge na esfera x²+y²+z²=1.
15 jun 2016, 18:07
Pode usar o método dos multiplicadores de Lagrange ou, alternativamente, como \(x^2+y^2+z^2 = 1\), sabemos que \(x^2+y^2=1-z^2\). Se substituir na função objectivo, passamos a querer maximizar a função \(f(z) = 1-z^2+2z^4\), no intervalo [-1,1]. Tratando-se de uma função diferenciável em ]-1,1[ e contínua em [-1,1], o máximo (que sabemos existir, devido ao teorema de Weierstrass) ocorre nos extremos ou num ponto onde a derivada se anule. Ora,
\(f'(z)=0 \Leftrightarrow -2z + 8z^3 = 0\Leftrightarrow -2z (1-4z^2) = 0 \Leftrightarrow z = 0 \vee z = \pm \frac 12\).
Finalmente, como
\(f(-1)=f(1)=2, f(0) = 1, f(\pm \frac 12) =\frac 78\)
concuclímos que o máximo é 2, atingido nos pontos \(z = \pm 1\), ou seja, nos pontos \((0,0, \pm 1)\).