Calculo de volume da esfera (coordenadas esféricas)

[Horus123]

Boa noite,

Estou com dúvida em montar a seguinte integral tripla em coordenadas esféricas, favor me ajudem!

Calcule a integral tripla, onde T é a região delimitada por x²+y²+z²=a² e os planos z=0 e z= √3/3*a em coordenadas esféricas.

Anexos

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[Sobolev]

Pode calcular como a diferença de dois volumes,

\(\int_0^{2 \pi} \left( \int_0^{\pi/6} \left(\int_0^a r^2 \sin \phi dr\right) d \phi \right)d \theta - \int_0^{2 \pi} \left(\int_{\pi/6}^{\pi/2} \left(\int_0^{\frac{\sqrt{3}a}{3 \cos \phi}} r^2 \sin \phi dr\right)d \phi \right) d \theta=
-\frac{1}{3} \left(\sqrt{3}-2\right) \pi a^3- (-\frac{\pi a^3}{9 \sqrt{3}})=
\frac{2}{27} \left(9-4 \sqrt{3}\right) \pi a^3\)

[Horus123]

Primeiramente obrigado pela resposta. Porém, o resultado do volume pelos limites descritos resultou no volume da cunha da esfera.( estou tentando definir os limites para a area entre z=0 e z=raiz (3)*a/3) Poderia por gentileza informar se e possivel calcular direto?

[Sobolev]

Bom dia,

Realmente me enganei no sinal. Deve considerar a soma e não a diferença dos dois integrais. O primeiro integral representa o volume dado pela rotação da área a ponteado, enquanto o segundo integral representa o volume gerado pela rotação da área a tracejado.

O volume será na verdade \(\frac{2}{27} \left(9-5 \sqrt{3}\right) \pi a^3\).

Anexos

[Horus123]

Mais uma vez obrigado. Agora ficou claro para mim.

Abraços