integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares

[henriqueseap]

Modifique a integral da forma cartesiana para a equivalente polar e então resolva a integral.
\(\int_{-1}^{0}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{0}2/(1+\sqrt{x^2+y^2})dydx\)

o gabarito é (1-ln2)pi


eu não estou conseguindo armar os limites, consegui visualizar da seguinte forma:
-1< x < 0
\(-\sqrt{1-x^2} < y < 0\)

só que feitos os cálculos, não consigo chegar a lugar nenhum.

alguém pode me ajudar

[henriqueseap]

resolvendo aqui eu achei 2pi como resposta, diferente do gabarito

[Sobolev]

A região de integração é a parte do circulo de raio 1 que fica no terceiro quadrante. No entanto, devido à simetria da função integranda, integrar no primeiro quadrante.

\(\int_{-1}^0 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^0 \frac{2}{1+\sqrt{x^2+y^2}} dy dx = \int_{0}^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \frac{2}{1+\sqrt{x^2+y^2}} dy dx = \int_0^{\pi/2} \int_0^1 \frac{2r}{1+r} dr d \theta = \pi \int_0^1 \frac{r}{1+r} dr =\pi(1- \log 2)\)