integral dupla coordenadas cartesiana para cartesiana polares

[henriqueseap]

bom dia!!
modifique a integral da forma cartesiana para equivalente polar e resolva:

\(\int_{0}^{1}\int_{x}^{\sqrt{2-x^2}} (x+2y)dydx\)

bem fiz o desenho e percebi que pelo intervalo de x o gráfico é do 4º quadrante;
para achar os limites, fiz da seguinte forma:

\(0 \leq x \leq 1 \Rightarrow 0\leq rcos\Theta \leq 1\Rightarrow cos\Theta \leq 1/r\)

e que
\(x \leq y \leq \sqrt{2-x^2} \Rightarrow x^2\leq y^2\leq 2-x^2 \Rightarrow 2x^2\leq r^2\leq 2 \Rightarrow 2(r^2cos^2\Theta )\leq r^2\leq 2\Rightarrow 2(r^2(\frac{1}{r^2}))\leq r^2 \leq 2\Rightarrow 2\leq r^2\leq 2\)

que no caso dá
\(\sqrt{2}\leq r\leq \sqrt{2}\)

então a integral ficaria
\(\int_{3\pi /2}^{7\pi/4}\int_{0}^{\sqrt{2}}r^2(cos\Theta +2sen\theta)drd\theta\)

entretanto quando resolvo esta integral dá um resultado diferente do gabarito que está correto, pois joguei wolframalpha
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... 22(2-x%5E2)%5E(1%2F2)%22

o gabarito é \(\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})\)

[Sobolev]

Repare que quando x está entre 0 e 1, y está entre x e \(\sqrt{2-x^2}\) (em particular y é positivo). A região está por isso no primeiro quadrante. Os limites correctos são

\(\int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_0^{\sqrt{2}} \rho (\rho \cos \theta + 2 \rho \sin \theta) d\rho d \theta\)

e o valor do integral é realmente o indicado.