Calcular volume dosólido qualquer utilizando Integrais Triplas

[CloudP4]

Boa noite!

Estou passando problemas por algumas questões, que é pra calcular o volume utilizando Integrais triplas, os exercícios seriam o seguinte:

1. \(y^2=z ; x=0 ; y=0 ; z=4 ; x=2\)

2. \(z=y^3 ; y=x^3 ; x=0 ; y=1 ; z=0\)

3. \(x=x^3 ; x=4y^2 ; 16y=x^2 ; z=0\)

A dúvida não é como resolver a Integral Tripla, e sim como eu monto essas integrais triplas para resolver essas questões.

Quem puder ajudar, agradeço!

[Sobolev]

A sua dificuldade é portanto a escolha dos limites de integração... Não existem receitas mágicas, tem que perceber geometricamente qual a região em causa e depois descreve-la de modo adequado à colocação dos limites de integração, isto é,

1. Uma das variáveis a variar entre dois valores constantes,
2. outra variável a variar entre duas funções da primeira variável
3. A última variável a varias entre duas funções das duas primeiras

Por exemplo no caso 1:

Imagine uma parábola desenhada no plano ZY a ser arrastada ao longo do eixo dos XX. A superfície assim obtida tem a equação \(z=y^2\). Imagine agora que essa parábola, em vez de ser arrastada ao longo de todo o eixo dos XX, é apenas considerada para x entre 0 e 2. Terá assim considerado as condições \(x=0\) e \(x=2\). A região até agora definida é ilimitada, já que a parábola não é limitada superiormente. Ao acrescentar o plano \(z=4\) à lista de condições, estamos a colocar uma "tampa" sobre a parábola. Finalmente o plano \(y=0\) divide a região anterior em duas iguais... podemos calcular o volume de qualquer uma delas. Concretamente,

\(V = \int_{0}^2 \int_0^2 \int_{y^2}^4 1 \, dz dy dx\)