Volume gerado por uma superfície de revolução
24 fev 2017, 23:54
Prezados do Fórum:
Quando uma superfície plana gira em tôrno do eixo OX produz círculos com centro em OX e raio perpendicular a OX. Quando gira em torno de OY, produz círculos com centro em OY e raio perpendicular a OY. Nesses dois casos eu sei resolver. O que eu não sei é quando a superfície gira em torno de, por exemplo, y = x. Seguem dois exercícios para os quais solicito a gentileza de alguém resolver incluindo explicações.
W.A. GRANVILLE, página 336
Achar o volume gerado pela revolução, em tôrno de cada uma das seguintes retas, da área que a reta corta da curva correspondente.
\(336/35.\ y=x;\ y=x^2\\336/36.\ y=x;\ y=3x-x^2\)
Quando uma superfície plana gira em tôrno do eixo OX produz círculos com centro em OX e raio perpendicular a OX. Quando gira em torno de OY, produz círculos com centro em OY e raio perpendicular a OY. Nesses dois casos eu sei resolver. O que eu não sei é quando a superfície gira em torno de, por exemplo, y = x. Seguem dois exercícios para os quais solicito a gentileza de alguém resolver incluindo explicações.
W.A. GRANVILLE, página 336
Achar o volume gerado pela revolução, em tôrno de cada uma das seguintes retas, da área que a reta corta da curva correspondente.
\(336/35.\ y=x;\ y=x^2\\336/36.\ y=x;\ y=3x-x^2\)
Re: Volume gerado por uma superfície de revolução [resolvida]
25 fev 2017, 17:46
Os sólidos de revolução são obtidos somando o volume de pequenos cilindros. Resultado desta soma são obtidos usando a operação do Integral.
O volume do cilindro é dado por \(V=A_b\cdot h=\pi r^2\cdot h\).
Então o raio é a distância do ponto na função \(f(x)=x^2\) à reta \(y=x\Leftrightarrow x-y=0\)
A distância entre um ponto \((x_o,y_0)\) e uma reta \(ax+by+c=0\) é dada por:
\(D=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Como o ponto é dado por \((x,f(x))\):
\(r=\frac{|1\cdot x+(-1)f(x)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|x-x^2|}{\sqrt{2}}\)
E a altura do cilindro é dado por uma distância muito pequena que é dh. E quanto é dh?
\(dh^2=dx^2+dx^2\Rightarrow dh=\sqrt{2}dx\)
Pelo que o volume de um cilindro muito pequeno é dado por:
\(V_i=\pi r^2\cdot h=\pi\cdot \left ( \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} \right )^2\cdot dh=\pi\cdot \left ( \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} \right )^2\cdot \sqrt{2}\, dx\)
Pelo que o sólido gerado por revolução é dado por:
\(V=\int_{0}^{1}\pi\cdot \left ( \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} \right )^2\cdot \sqrt{2}\, dx=\frac{\sqrt{2}\pi}{60}\)
Consegue fazer para o segundo exercicio ?
O volume do cilindro é dado por \(V=A_b\cdot h=\pi r^2\cdot h\).
Então o raio é a distância do ponto na função \(f(x)=x^2\) à reta \(y=x\Leftrightarrow x-y=0\)
A distância entre um ponto \((x_o,y_0)\) e uma reta \(ax+by+c=0\) é dada por:
\(D=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
Como o ponto é dado por \((x,f(x))\):
\(r=\frac{|1\cdot x+(-1)f(x)|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|x-x^2|}{\sqrt{2}}\)
E a altura do cilindro é dado por uma distância muito pequena que é dh. E quanto é dh?
- dh.png (4.86 KiB) Visualizado 5495 vezes
\(dh^2=dx^2+dx^2\Rightarrow dh=\sqrt{2}dx\)
Pelo que o volume de um cilindro muito pequeno é dado por:
\(V_i=\pi r^2\cdot h=\pi\cdot \left ( \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} \right )^2\cdot dh=\pi\cdot \left ( \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} \right )^2\cdot \sqrt{2}\, dx\)
Pelo que o sólido gerado por revolução é dado por:
\(V=\int_{0}^{1}\pi\cdot \left ( \frac{x-x^2}{\sqrt{2}} \right )^2\cdot \sqrt{2}\, dx=\frac{\sqrt{2}\pi}{60}\)
Consegue fazer para o segundo exercicio ?
Re: Volume gerado por uma superfície de revolução
25 fev 2017, 21:55
Na mosca, Pedro, já resolvi. A resposta é \(\frac{8}{15}\pi \sqrt2\)
E agora farei o 336/37, o 336/38 e o 336/39
\(336/37.\ 4y=4x+33;\ y=9-x^2\\336/38.\ x+y=1;\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\336/39.\ x+y=7;\ xy=6\\Respostas\\336/37.\ \frac{8}{15}\pi \sqrt{2}\\336/38.\ \frac{1}{15}\pi \sqrt{2}\\336/39.\ sem\ resposta\)
Muito obrigado, meu jovem. Tenha um belíssimo final de semana.
E agora farei o 336/37, o 336/38 e o 336/39
\(336/37.\ 4y=4x+33;\ y=9-x^2\\336/38.\ x+y=1;\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\\336/39.\ x+y=7;\ xy=6\\Respostas\\336/37.\ \frac{8}{15}\pi \sqrt{2}\\336/38.\ \frac{1}{15}\pi \sqrt{2}\\336/39.\ sem\ resposta\)
Muito obrigado, meu jovem. Tenha um belíssimo final de semana.