integral dupla em módulo
10 fev 2012, 23:49
\(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left | x-y \right |dydx\)
Re: integral dupla em módulo
12 fev 2012, 16:54
Cara Bianca,
A área de integração é o quadrado \([0,1]\times[0,1]\)
Podemos dividir o integral duplo em dois, considerando duas regiões onde o módulo de x+y é definido de forma diferente
\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|x-y|dydx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{x}x-ydydx+\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}-x+ydydx\)
A partir daqui é fácil (espero)
A área de integração é o quadrado \([0,1]\times[0,1]\)
Podemos dividir o integral duplo em dois, considerando duas regiões onde o módulo de x+y é definido de forma diferente
\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|x-y|dydx = \int_{0}^{1}\int_{0}^{x}x-ydydx+\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}-x+ydydx\)
A partir daqui é fácil (espero)
Re: integral dupla em módulo
12 fev 2012, 19:43
é muito mais fácil do que eu imaginava...mas eu não entendi muito bem o que você fez no intervalo, do por que de x? e não o y...por exemplo (desculpa o incomodo)
Re: integral dupla em módulo
12 fev 2012, 20:38
Cara Bianca
Repare que:
\(|x|=\begin{cases}
x, x \geq 0 \\
-x, x < 0 \end{cases}\)
Então podemos concluir que:
\(|x-y|=\begin{cases}
x-y,\ x-y \geq 0 \\
-x+y,\ x-y < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x-y,\ x \geq y \\
-x+y,\ x < y \end{cases}\)
Ou seja, no quadrado de integração \([0,1] \times [0,1]\) há uma reta \(y=x\) que separa os dois triângulos de integração
Foi isso que o Prof. José Sousa desenvolveu...
Cumprimentos
Repare que:
\(|x|=\begin{cases}
x, x \geq 0 \\
-x, x < 0 \end{cases}\)
Então podemos concluir que:
\(|x-y|=\begin{cases}
x-y,\ x-y \geq 0 \\
-x+y,\ x-y < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x-y,\ x \geq y \\
-x+y,\ x < y \end{cases}\)
Ou seja, no quadrado de integração \([0,1] \times [0,1]\) há uma reta \(y=x\) que separa os dois triângulos de integração
Foi isso que o Prof. José Sousa desenvolveu...
Cumprimentos