Volumes, momentos de inércia, centro de massa de objectos tridimensionais, integrais com mais de uma variável
13 fev 2012, 20:49
Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido que está sob o paraboloide z=x²+y², acima do plano XY e dentro do cilindro x²+y²=2x . Sugestão, lembre que cos²(t) = (1+/cos(2t))/2
(t=teta)
14 fev 2012, 18:22
Caro João,
Não entendi.
Grata,
Larissa Silva
15 fev 2012, 11:40
Não vou colocar aqui a figura final, mas \(z=x^2+y^2\) em coordenadas polares fica \(z=\rho^2\).
Portanto, \(z \in [0, \rho^2]\).
Com a outra condição \(x^2+y^2=2x\), primeiro, vejamos em termos gráficos.
Manipulando temos \((x-1)^2-2x+{1}+y^2={1}\) , o que representa o cilindro de raio 1 com eixo paralelo ao eixo dos zz e passando nos pontos \((1,0,z)\)
Em relação ao eixo de coordenadas \(xyz\), o cilindro situa-se na região em que o \(\theta \in[-\frac{\pi}{2},+\frac{\pi}{2}]\).
Podemos usar \((x-1)^2+y^2={1}\) para concluir que, em coordenadas cilíndricas, \(\rho = cos(\theta)\) define o limite superior de \(\rho\). Temos então que \(\rho \in [0, cos(\theta)]\).
Com isto, temos limites para \(\theta\), \(\rho\) em funcção de \(\theta\) e \(z\) em função de \(\rho\).
Assim sendo, e lembrando que, ao mudar para coordenadas cilíndricas, temos no termo a integrar o \(\rho\) para calcular o volume, temos
\(Vol = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{cos(\theta)}\int_{0}^{\rho^2} \rho dz d\rho d\theta\)