Integral Dupla

[Bombeiro]

Resolva:


∬∛(y-x)/(1+x+y) ∂x∂y, sobre um conjunto B, que é definido como o triângulo de vértices (0,0), (1, 0) e (0,1). Obs: a raiz cúbica está somente sobre y-x.

Essa questão foi tirada do livro Um Curso de Cálculo volume 3 quinta edição. Página 98 Exercícios 4.2 questão 1 letra f.

[Man Utd]

Resolva:


∬∛(y-x)/(1+x+y) ∂x∂y, sobre um conjunto B, que é definido como o triângulo de vértices (0,0), (1, 0) e (0,1). Obs: a raiz cúbica está somente sobre y-x.

Essa questão foi tirada do livro Um Curso de Cálculo volume 3 quinta edição. Página 98 Exercícios 4.2 questão 1 letra f.

\(\text{primeiro perceba o grafico:}\)

Figura1.png (17.04 KiB) Visualizado 1723 vezes

\(\text{temos que a nossa integral e:}\)


\(\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \frac{\sqrt[3]{y-x}}{1+x+y}dydx\)


\(\text{Facamos a mudanca de variaveis :}\)


\(\\\\ u=y-x \\\\ v=1+x+y\)


\(\text{segue imediatamente que:}\)


\(\\\\ x=\frac{v}{2}-\frac{u}{2}-\frac{1}{2} \\\\ y=\frac{u}{2}+\frac{v}{2}-\frac{1}{2}\)


\(\text{Calcule o Jacobiano, vai dar : -\frac{1}{2} , entao tomemos o modulo ,sera: \frac{1}{2}}\)


\(\text{agora vamos transformar as retas x=0 , x=1 , y=0 , y=1-x}\)

\(\text{Entao nossa regiao sera respectivamente : v=1+u , v=3+u , v=1-u , v=2}\)

\(\text{perceba agora o esboco dessa regiao :}\)

Figura2.png (39.17 KiB) Visualizado 1723 vezes

\(\text{Uma maneira de determinar a integral dupla e:}\)

\(\text{\int_{1}^{2} \int_{1-v}^{v-1} \frac{\sqrt[3]{u}}{2v} dudv}\)


\(\text{ou ainda:}\)

\(\text{\int_{-1}^{0} \int_{1-u}^{2} \frac{\sqrt[3]{u}}{2v} dvdu+\int_{0}^{1} \int_{1+u}^{2} \frac{\sqrt[3]{u}}{2v} dvdu}\)


abraços