Explicação do teorema de Stokes
02 ago 2013, 04:23
Olá Pessoal!
Não consegui resolver estas duas questões de cálculo, estou achando muito difícil, alguém poderia resolve-las pra mim?
Obrigado!
Não consegui resolver estas duas questões de cálculo, estou achando muito difícil, alguém poderia resolve-las pra mim?
Obrigado!
- Anexos
-
- Questões de cálculo.
Re: Desafio! Questões de cálculo
02 ago 2013, 20:36
Benvindo amigo 
Antes de mais, das 4 regras do fórum, apenas 4, uma delas é: um exercício por pergunta.
Numa superfície como esta, em que temos uma superfície \(\Sigma\) e um respetivo bordo/fronteira \(\partial \Sigma\)
Exemplo: imagine isto como o rato do seu computador, a superfície \(\Sigma\) é a parte de cima e dos lados do rato onde vc coloca a mão, e o bordo é a linha à volta do rato onde o mesmo assenta na mesa. Linha, não superfície!
o teorema de Stokes dita que
\(\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},\)
onde \(\nabla \times \mathbf{F}\) significa Rotacional de F e \(\oint\) faz referência a um integral ao longo de uma linha (normalmente) fechada.
Ora no seu caso na questão 1, o que vc precisa de achar é essa linha \(\partial\Sigma\) que contorna a superfície, que neste caso será a linha que respeita a equação
\(0=4-x^2-y^2\)
\(x^2+y^2=2^2\)
Trata-se então de uma circunferência de raio 2, centro em \((0,0)\) no plano \(z=0\)
uma parametrização possível é
\(\mathbf{r(t)}=(x(t), y(t), z(t))=(2 cos t, 2 sen t, 0) \ t\in[0,\2\pi[\)
\(\mathbf{r'(t)}=(-2 sen t, 2 cos t, 0)\)
Então pela regra do integral de um campo ao longo de uma linha, temos que
\(\int_r \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)
no nosso caso, como o campo é \(F(x,y,x)=(y,2x,xyz)\) logo
\(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(2 sen t, 4 cos t, 0)\)
é só achar
\(\int_0^{2\pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)
O ponto \(\cdot\) é o produto interno entre dois vetores
Saudações
PS: E já agora amigo, não nos bombardeie com perguntas, somos gente, não somos máquinas!
Antes de mais, das 4 regras do fórum, apenas 4, uma delas é: um exercício por pergunta.
Numa superfície como esta, em que temos uma superfície \(\Sigma\) e um respetivo bordo/fronteira \(\partial \Sigma\)
Exemplo: imagine isto como o rato do seu computador, a superfície \(\Sigma\) é a parte de cima e dos lados do rato onde vc coloca a mão, e o bordo é a linha à volta do rato onde o mesmo assenta na mesa. Linha, não superfície!
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o teorema de Stokes dita que
\(\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},\)
onde \(\nabla \times \mathbf{F}\) significa Rotacional de F e \(\oint\) faz referência a um integral ao longo de uma linha (normalmente) fechada.
Ora no seu caso na questão 1, o que vc precisa de achar é essa linha \(\partial\Sigma\) que contorna a superfície, que neste caso será a linha que respeita a equação
\(0=4-x^2-y^2\)
\(x^2+y^2=2^2\)
Trata-se então de uma circunferência de raio 2, centro em \((0,0)\) no plano \(z=0\)
uma parametrização possível é
\(\mathbf{r(t)}=(x(t), y(t), z(t))=(2 cos t, 2 sen t, 0) \ t\in[0,\2\pi[\)
\(\mathbf{r'(t)}=(-2 sen t, 2 cos t, 0)\)
Então pela regra do integral de um campo ao longo de uma linha, temos que
\(\int_r \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)
no nosso caso, como o campo é \(F(x,y,x)=(y,2x,xyz)\) logo
\(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(2 sen t, 4 cos t, 0)\)
é só achar
\(\int_0^{2\pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)
O ponto \(\cdot\) é o produto interno entre dois vetores
Saudações
PS: E já agora amigo, não nos bombardeie com perguntas, somos gente, não somos máquinas!
Re: Explicação do teorema de Stokes
03 ago 2013, 20:47
Caro João Ferreira, não tenho nem palavras pra te agradecer, ficou ótimo, muito claro, deu pra entender perfeitamente, vc é 10 cara, obrigado mesmo.
Desculpe, quando me escrevi no fórum pra postar esta pergunta estava numa correria grande que acabei nem lendo as regras, vou fazer um outro tópico com a questão 2, será que vc poderia me ensinar a resolver tbm? Vou fazer o tópico e mandar o link pra vc.
Muito obrigado!
Grande abraço!
Desculpe, quando me escrevi no fórum pra postar esta pergunta estava numa correria grande que acabei nem lendo as regras, vou fazer um outro tópico com a questão 2, será que vc poderia me ensinar a resolver tbm? Vou fazer o tópico e mandar o link pra vc.
Muito obrigado!
Grande abraço!
Re: Desafio! Questões de cálculo
03 ago 2013, 20:49
Caro João Ferreira, não tenho nem palavras pra te agradecer, ficou ótimo, muito claro, deu pra entender perfeitamente, vc é 10 cara, obrigado mesmo.
Desculpe, quando me escrevi no fórum pra postar esta pergunta estava numa correria grande que acabei nem lendo as regras, vou fazer um outro tópico com a questão 2, será que vc poderia me ensinar a resolver tbm? Vou fazer o tópico e mandar o link pra vc.
Muito obrigado!
Grande abraço!
Desculpe, quando me escrevi no fórum pra postar esta pergunta estava numa correria grande que acabei nem lendo as regras, vou fazer um outro tópico com a questão 2, será que vc poderia me ensinar a resolver tbm? Vou fazer o tópico e mandar o link pra vc.
Muito obrigado!
Grande abraço!
João P. Ferreira Escreveu:Benvindo amigo
Antes de mais, das 4 regras do fórum, apenas 4, uma delas é: um exercício por pergunta.
Numa superfície como esta, em que temos uma superfície \(\Sigma\) e um respetivo bordo/fronteira \(\partial \Sigma\)
Exemplo: imagine isto como o rato do seu computador, a superfície \(\Sigma\) é a parte de cima e dos lados do rato onde vc coloca a mão, e o bordo é a linha à volta do rato onde o mesmo assenta na mesa. Linha, não superfície!
o teorema de Stokes dita que
\(\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r},\)
onde \(\nabla \times \mathbf{F}\) significa Rotacional de F e \(\oint\) faz referência a um integral ao longo de uma linha (normalmente) fechada.
Ora no seu caso na questão 1, o que vc precisa de achar é essa linha \(\partial\Sigma\) que contorna a superfície, que neste caso será a linha que respeita a equação
\(0=4-x^2-y^2\)
\(x^2+y^2=2^2\)
Trata-se então de uma circunferência de raio 2, centro em \((0,0)\) no plano \(z=0\)
uma parametrização possível é
\(\mathbf{r(t)}=(x(t), y(t), z(t))=(2 cos t, 2 sen t, 0) \ t\in[0,\2\pi[\)
\(\mathbf{r'(t)}=(-2 sen t, 2 cos t, 0)\)
Então pela regra do integral de um campo ao longo de uma linha, temos que
\(\int_r \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)
no nosso caso, como o campo é \(F(x,y,x)=(y,2x,xyz)\) logo
\(\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(2 sen t, 4 cos t, 0)\)
é só achar
\(\int_0^{2\pi} \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt\)
O ponto \(\cdot\) é o produto interno entre dois vetores
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PS: E já agora amigo, não nos bombardeie com perguntas, somos gente, não somos máquinas!
Re: Explicação do teorema de Stokes
03 ago 2013, 23:51
De nada meu caro
Estamos aqui para ajudar
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Re: Explicação do teorema de Stokes
04 ago 2013, 01:41
Muito obrigado meu amigo!
Sei que já é pedir demais, mas fiz um tópico com a questão 2, caso vc possa me dar mais uma ajuda serei muito grato mais uma vez.
Abraços...
viewtopic.php?f=10&t=3256
Sei que já é pedir demais, mas fiz um tópico com a questão 2, caso vc possa me dar mais uma ajuda serei muito grato mais uma vez.
Abraços...
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João P. Ferreira Escreveu:De nada meu caro
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