Volume do sólido de Revolução

[gonger21]

Considere R a região limitada pela curva y = \(3\sqrt(x^2)\) (raiz cubica de x ao quadrado)

e a reta y = x. Determine o volume do sólido de revolução, obtido quando R gira em torno do eixo y.

[Man Utd]

eu acho que seria seria assim:

\(\\\\ \int_{a}^{b} 2\pi x f(x)dx \\\\ \int_{0}^{1} 2\pi x (\sqrt[3]x^{2}-x)dx \\\\ 2 \pi*\int_{0}^{1} x (\sqrt[3]x^{2}-x)dx \\\\ 2 \pi*\int_{0}^{1} x^{\frac{5}{3}}-x^{2}dx \\\\ \frac{\pi}{12}\)



att.

[Mauro]

Considere R a região limitada pela curva y = \(3\sqrt(x^2)\) (raiz cubica de x ao quadrado)

e a reta y = x. Determine o volume do sólido de revolução, obtido quando R gira em torno do eixo y.

Pegando uma carona no amigo Man Utd (eu não estou seguro) vou fazer diferente. Queria saber onde me engano:

O volume de um cilindro é dado por

\(V=\pi r^2 h\)

Fazendo, no nosso problema,

\(r = \sqrt[3]{x^2} \text{ e } h=dx\)

teríamos para a área rotacionada da curva

\(\pi \int_{a}^{b}(x^{\frac{2}{3}})^2dx \text{ unidades de volume}\)

E, para a reta,

\(\pi \int_{a}^{b}xdx \text{ unidades de volume}\)

O volume final desejado então seria a diferença dos volumes parciais:

\(\pi \int_{a}^{b}(x^{\frac{2}{3}})^2dx -\pi \int_{a}^{b}xdx\)

\(\pi \int_{a}^{b}x^{\frac{4}{9}}dx-\pi \int_{a}^{b}xdx\)

A indicação seria esta?

\(\pi [\int_{a}^{b}x^{\frac{4}{9}}dx- \int_{a}^{b}xdx]\)

Abração a todos
Mauro

[Man Utd]

olá Mauro.Eu errei numa conta,eu editei minha reposta.

Eu utilizei o método das cascas cilindricas que se aplicam a superfícies de rotação em torno do eixo y, o seu método (discos cilindricos) é utilizado em superficies de rotações em torno do eixo x. então basta colocar a função em x numa função em y.

então as funções ficam:

\(\\\\ x=y^{\frac{3}{2}} \wedge x=y\)

calculando :

\(\\\\ \pi* \int_{0}^{1}y^{2}dx-\pi*\int_{0}^{1}(y^{\frac{3}{2}})^{2}dx \\\\ \pi*(\frac{y^{3}}{3}|_{0}^{1}-\frac{y^{4}}{4}|_{0}^{1})\\\\ \pi*(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) =\frac{\pi}{12}\)


espero que não esteja nada errado.

att e cumprimentos

Editado pela última vez por Man Utd em 10 set 2013, 12:18, num total de 1 vez.
Razão: trocar x por y

[Mauro]

olá Mauro.Eu errei numa conta,eu editei minha reposta.

Eu utilizei o método das cascas cilindricas que se aplicam a superfícies de rotação em torno do eixo y, o seu método (discos cilindricos) é utilizado em superficies de rotações em torno do eixo x. então basta colocar a função em x numa função em y.

então as funções ficam:

\(\\\\ x=y^{\frac{3}{2}} \wedge x=y\)

calculando :

\(\\\\ \pi* \int_{0}^{1}x^{2}dx-\pi*\int_{0}^{1}(x^{\frac{3}{2}})^{2}dx \\\\ \pi*(\frac{x^{3}}{3}|_{0}^{1}-\frac{x^{4}}{4}|_{0}^{1})\\\\ \pi*(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) =\frac{\pi}{12}\)


espero que não esteja nada errado.

att e cumprimentos

Caro Man Utd, agora que li que era em torno do eixo das ordenadas. Muito obrigado pela resposta.
Abração
Mauro