Integral duplo | int int x(2y+1)/(x^2+y)^2 dx dy

[loisans]

\(\int_{1}^{2} \int_{-y}^{-\sqrt{y}} x(2y+1)/(x^{2}+y)^2 dxdy\)

[danjr5]

Olá Loisans,
boa noite.
Seja bem vindo(a)!!
Confirme, por favor, se a integral que postou está correta.
Ou quis dizer:

\(\int_{1}^{2}\int_{- y}^{- \sqrt[]{y}}\frac{x(2y + 1)}{(x^2 + y^2)}dxdy\)

Atenciosamente,

Daniel.

[loisans]

o integral postado por mim é o correcto Daniel
E é exactamente igual ao que postou mas o denominador é \((x^{2}+y)^{2}\)

[danjr5]

Ok.

\(\int_{1}^{2}\int_{- y}^{- \sqrt[]{y}}\frac{x(2y + 1)}{(x^2 + y)^2}dxdy\)

Calculemos a integral 'interna'.

\(\int_{- y}^{- \sqrt[]{y}}\frac{x(2y + 1)}{(x^2 + y)^2}dx =\)
Considerando \(x^2 + y = \rho => d\rho = 2x dx\) (substituição simples)

\(\int_{- y}^{- \sqrt[]{y}}\frac{(2y + 1)d\rho}{2\rho^2} =\)

\(\left[\frac{(2y + 1)}{2}. -\rho^{- 1} \right]_{- y}^{- \sqrt[]{y}} =\)

\(\left[\frac{(2y + 1)}{2}. \frac{- 1}{x^2 + y}} \right]_{- y}^{- \sqrt[]{y}} =\)

Calculando \(F(- \sqrt[]{y}) - F(- y)\) encontramos \(\frac{- 2y + 1}{2y + 2}\).

Agora, calcule:

\(\int_{1}^{2}\frac{- 2y + 1}{2y + 2}dy\)

Encontrei \(\frac{3.ln6}{2} - \frac{3.ln4}{2} - 1\).


Tens o gabarito??

[João P. Ferreira]

Caro Dainiel,

estive a confirmar as contas por alto e parece-me estar tudo correto.

Muito obrigado pelas suas magnas contribuições

Um bem-haja

[loisans]

Obtive uma solução de um professor hoje, ainda não consegui resolver o integral de modo a dar o resultado indicado!

A solução dada é: \(\frac{1}{2}(-1-ln4+ln3)\)

[danjr5]

Caro Dainiel,

estive a confirmar as contas por alto e parece-me estar tudo correto.

Muito obrigado pelas suas magnas contribuições

Um bem-haja

Prezado João P.,
revi os cálculos e percebi que cometi um equívoco em

\(F(- \sqrt[]{y}) - F(- y) = \frac{- 2y + 1}{2y + 2}\)

O correto seria:
\(F(- \sqrt[]{y}) = \frac{(2y + 1)}{2}.\frac{- 1}{y + y} ====> \frac{- (2y + 1)}{4y}\)

\(F(- y) = \frac{(2y + 1)}{2}.\frac{- 1}{y^2 + y} ====> \frac{- (2y + 1)}{2y(y + 1)}\)


\(F(- \sqrt[]{y}) - F(- y) = \frac{- (2y + 1)}{4y} + \frac{(2y + 1)}{2y(y + 1)} => F(- \sqrt[]{y}) - F(- y) = \frac{- (2y + 1)(y + 1) + (2y + 1)2}{4y(y + 1)} => F(- \sqrt[]{y}) - F(- y) = \frac{- 2y^2 + y + 1}{4y(y + 1)}\)

Então,
\(\int_{1}^{2}\frac{- 2y^2 + y + 1}{4y(y + 1)}dy =\)

\(\int_{1}^{2}\frac{- 2y^2}{4y(y + 1)}dy + \int_{1}^{2}\frac{y}{4y(y + 1)}dy + \int_{1}^{2}\frac{1}{4y(y + 1)}dy =\)

\(- \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{y}{(y + 1)}dy + \frac{1}{4}\int_{1}^{2}\frac{1}{(y + 1)}dy + \frac{1}{4}\int_{1}^{2}\frac{1}{y(y + 1)}dy =\)

Integral I:
\(- \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{y}{y + 1}dy\)

Consideremos, \(y + 1 = \sigma => d\sigma = dy\)

\(- \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{y}{y + 1}dy = - \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{\sigma - 1}{\sigma}dy = - \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\left(\frac{\sigma}{\sigma} - \frac{1}{\sigma} \right)dy = - \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\left(1 -\frac{1}{\sigma} \right)dy = - \frac{1}{2}\left[ \sigma - ln\sigma\right]_{1}^{2} = - \frac{1}{2}\left[y + 1 - ln|y + 1|\right]_{1}^{2}\)

\(F(2) - F(1) = - \frac{1}{2}.(1 + ln2 - ln3)\)

Integral II:

\(\frac{1}{4}\int_{1}^{2}\frac{1}{y + 1}dy = \frac{1}{4}[ln|y + 1|]_{1}^{2}\)

\(G(2) - G(1) = \frac{1}{4}(ln3 - ln2)\)


Integral III:

\(\frac{1}{4}\int_{1}^{2}\frac{1}{y(y + 1)}dy = \frac{1}{4}[ln(y^2 + y)]_{1}^{2}\)

\(H(2) - H(1) = \frac{1}{4}(ln6 - ln2)\)

Resta-nos calcular:

\([F(2) - F(1)] + [G(2) - G(1)] + [H(2) - H(1)] =\)

\(-\frac{1}{2}(1 + ln2 - ln3) + \frac{1}{4}(ln3 - ln2) + \frac{1}{4}(ln6 - ln2) =\)

\(-\frac{1}{2}(1 + ln2 - ln3) + \frac{1}{4}(ln3 - ln2) + \frac{1}{4}(ln2 + ln3 - ln2) =\)

\(\frac{- 2 - 2.ln2 + 2.ln3 + ln3 - ln2 + ln3}{4} =\)

\(\frac{4.ln3 - 3.ln2 - 2}{4}\)