Calcular o volume do elipsóide
07 nov 2013, 00:45
Alguém poderia me ajudar com a seguinte questão sobre cálculo de volume em um elipsóide?
Questão em anexo.
Obrigada!
Questão em anexo.
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Re: Calcular o volume do elipsóide
07 nov 2013, 02:38
Olá 
Minha tentativa: (Usando integrais triplas)
Aplicando mudança de variáveis :
\(\\\\ x=a*u \\\\ y=b*v \\\\ z=b*w\) , então calculando o Jacobiano teremos : \(ab^{2}\).
daí:
\(\text{\int \int \int_{R} ab^{2} dudvdw}\)
temos agora que a nossa região \(R\) de integração,após a mudança de variáveis é uma esfera de raio 1 : \(u^{2}+v^{2}+w^{2}=1\).
então vamos utilizar coordenadas esféricas para calcular a integral tripla:
\(\text{\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} ab^{2}*\rho^{2}*sen\phi d\rho d\phi d\theta }\)
calculando esta integral vc obtém como reposta : \(\frac{4\pi*ab^{2}}{3}\) , se \(a=b\) vc teria \(\frac{4\pi*a^{3}}{3}\) que é o volume de uma esfera.
att e cumprimentos.
Minha tentativa: (Usando integrais triplas)
Aplicando mudança de variáveis :
\(\\\\ x=a*u \\\\ y=b*v \\\\ z=b*w\) , então calculando o Jacobiano teremos : \(ab^{2}\).
daí:
\(\text{\int \int \int_{R} ab^{2} dudvdw}\)
temos agora que a nossa região \(R\) de integração,após a mudança de variáveis é uma esfera de raio 1 : \(u^{2}+v^{2}+w^{2}=1\).
então vamos utilizar coordenadas esféricas para calcular a integral tripla:
\(\text{\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} ab^{2}*\rho^{2}*sen\phi d\rho d\phi d\theta }\)
calculando esta integral vc obtém como reposta : \(\frac{4\pi*ab^{2}}{3}\) , se \(a=b\) vc teria \(\frac{4\pi*a^{3}}{3}\) que é o volume de uma esfera.
att e cumprimentos.