Rosácea - Cálculo por Integral Dupla

[raimundojr]

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 15 - Pág.: 900)
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.
Um laço de rosácea r=cos3θ


Comentário:
Rosácea (epitrocoide) - descrita no gráfico por coordenadas polares.

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Pensei em calcular a área das três e depois dividir por três, assim:
\(\frac{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{cos3\theta}rdrd\theta}{3}=\frac{\pi}{6}\)


Resposta: \(\frac{\pi}{12}\) unidades de área

[Sobolev]

Ao calcular o integral deve ter em atenção que \(\theta \in [0,\pi]\). Da forma que fez os cálculos está a percorrer a rosácea duas vezes, daí ter chegado ao dobro da resposta correcta.

[Man Utd]

Olá


fiz assim: o ângulo \(\theta\) começa a varrer a região em \(\theta=0\) e terminar quando \(r=0 \; \Rightarrow 0=cos(3\theta) \; \Rightarrow \; \theta=\frac{\pi}{6}\) ,com isso o ângulo \(\theta\) varreu a região correspondente a metade do laço.


então para obter o laço por completo,multiplicaremos a integral dupla por 2:

\(2*\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \; \int_{0}^{\cos(3\theta)} \; r \; dr \;d\theta\)


Uma solução alternativa por integral simples:

pela fórmula da integral de área de curvas polares : \(\int_{\alpha}^{\beta} \; [f(\theta)]^{2} d\theta\)

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^{2}(3\theta) d\theta\)

[raimundojr]

Obrigado por responderem.

Ao calcular o integral deve ter em atenção que \(\theta \in [0,\pi]\). Da forma que fez os cálculos está a percorrer a rosácea duas vezes, daí ter chegado ao dobro da resposta correcta.

Se \(\theta \in [0, \pi]\), por que se utiliza a integral abaixo para se calcular a área do círculo?
\(\int_0^{2\pi}\int_0^rrdrd\theta=\pi r^2\)

[Sobolev]

O intervalo em que deve colocar \(\theta\) está relacionado com a parametrização da curva... Por exemplo \((cos (2 \theta), \sin (2 \theta))\) pode ser uma parametrização da circunferência de raio 1 centrada na origem mas se usar o intervalo [0, 2 pi] não vai obter o valor correcto para a área. A curva deve ser percorrida apenas uma vez.

[raimundojr]

Como descobriste que para esse caso θ iria variar de 0 até \(\pi\)? Pergunto porque nem sempre irei ter a resposta para comparar.

Editado (16h59): A parametrização foi feita por coordenadas polares.

Editado (17h19): Acredito ter outra explicação sobre a integração de 0 a \(2\pi\), nessa situação em específico, fornecer o valor da área do dobro das 3 "pétalas".

Observe a imagem:

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O ângulo formado por cada reta vermelha é igual a 60°. Existem 3 regiões que não contém os laços de rosácea que juntas equivalem a 180°. Então, fazendo a integração apenas sobre as regiões que contém os laços de rosácea há uma variação de 0 a 180°.

Nota: as retas são as seguintes:
\(x=0\)
\(y=tg(\frac{\pi}{6})x\)
\(y=-tg(\frac{\pi}{6})x\)

[Sobolev]

Se seguires o desenho da rosácea vês que a curva deve passar na origem (r=0) exactamente 3 vezes. Tendo em conta os zeros de \(cos (3\theta)\) rapidamente concluis qual deve ser o intervalo a considerar.

Relativamente à interpretação do valor encontrado para área, não procures explicações "complicadas" onde elas não são necessárias... cos (3t) repete os seus valores no intervalo que consideraste por isso vais obter o dobro do valor para área.

Bom Natal!