Pedido de ajuda na resolução de Equação diferencial

[loisans]

Considere y''+ay'+by=R(x)

1)Determine as constantes a e b de modo que o sistema fundamental de soluções da equação linear homogénea associada seja \(cos(\sqrt{2}x),sin(\sqrt{2}x)\)

2) Resolva a equação diferencial considerando a=-1, b=0 e R(x)= \(\frac{e^{2x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}\)

Peço ajuda pois tenho exame na próxima semana e não estive presente nestas aulas e os apontamentos que possuo não estão a esclarecer as dúvidas

Cumprimentos

[João P. Ferreira]

Para que a equação linear homogénea associada tenha esses valores a equação característica

\(z^2+a.z+b=0\)

tem de ter as seguintes raízes

\(z=\pm i \sqrt{2}\)

Ora então pela fórmula resolvente

\(z=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}=\pm i \sqrt{2}\)

\(a=0\) (pois a parte real é nula)

logo ficamos com

\(\pm\frac{\sqrt{-4b}}{2}=\pm i\sqrt{b}=\pm i \sqrt{2}\)

\(b=2\)