Integral Tripla-Cálculo de volumes e momento de inércia

[garotanerd]

Alguém poderia resolver essas questões explicando detalhadamente.
1-Calcular o volume do sólido delimitado por x²+y²=4,z=0 e 4x+2y+z=16.
Ficarei muito grata, é preciso primeiro montar a integral e depois resolvê-la.
A resposta é 64pi.
2-Calcular o momento de inércia em relação aos eixos coordenados do sólido delimitado por z=4-x²-y² e z=0, sabendo que a densidade de massa em um ponto P é proporcional à distância de P ao plano xy.
A resposta é: (848kpi)\15.
Quero que essas questões sejam exemplos para eu fazer a lista do livro.
É isso que gosto de fazer nas férias mesmo ^^

[josesousa]

Uma das regras do forum é: um tópico por questão!

Respondo então à primeira pergunta.

A figura é um cilindro de raio 2 em torno do eixo dos z, com base no plano xOy, e cortado pelo plano z=16-4x-2y.

O volume é dado então por, usando coordenadas cilíndricas,

\(\int_0^2 \int_0^{2\pi} \int_0^{(16-4r.cos\theta-2r.sen\theta)} r dz d\theta dr=\)
\(\int_0^2 r \int_0^{2\pi} 16-4r.cos\theta-2r.sen\theta dz d\theta dr=\)
\(\int_0^2 r \int_0^{2\pi} 16 d\theta dr- \int_0^2 r \int_0^{2\pi} 4r.cos\theta-2r.sen\theta dz d\theta dr=\)
\(\int_0^2 r .32\pi d\theta dr- \int_0^2 r \int_0^{2\pi} 4r.cos\theta-2r.sen\theta dz d\theta dr\)

Como no segundo integral estamos a integrar num intervalo de comprimento \(2\pi\) funções sen e cos, o resultado é 0. Assim, sobra o primeiro integral:

\(\int_0^2 r .32\pi d\theta dr = 32\pi [\frac{r^2}{2}]_0^2 = 64 \pi\)

[josesousa]

2-Calcular o momento de inércia em relação aos eixos coordenados do sólido delimitado por z=4-x²-y² e z=0, sabendo que a densidade de massa em um ponto P é proporcional à distância de P ao plano xy.
A resposta é: (848kpi)\15.

Aqui há uma má formulação do problema.

Pode ser o momento de inércia em relação ao eixo dos z
OU
O momento de inércia em relação à origem dos eixos coordenados
OU
Os momentos de inércia em relação a cada um dos eixos coordenados.

De qualquer forma, chamemos d à distância ao eixo/origem.

O momento de inércia é dado por

\(\int \int \int_V d^2 \rho dV\)

Em que \(\rho\) é a densidade de massa. Neste caso, como é proporcional à distância ao plano xOy, é basicamente proporcional a z \(=>\rho = kz\)

Imaginemos agora que queremos calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos z.

Então \(d = \sqrt{x^2+y^2}= r\) em coordenadas cilíndricas


Finalmente o momento de inércia é dado por, sabendo que o raio varia de 0 a 2 (z=0 implica que r=2),

\(\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^{4-r^2} r^2. kz. r dz dr d\theta=\)

\(2\pi \int_0^2 r^3 . k[\frac{z^2}{2}]_0^{4-r^2} dr =\)
\(\pi \int_0^2 r^3 . k (16-8r^2+r^4) dr =\)
\(k.\pi [4r^4-4r^6/3+r^8/8]_0^2 dr =\)
\(k.\pi [4r^4-4r^6/3+r^8/8]_0^2 dr =\)
\(k.\pi (64-512/6+32)=64k\pi/6\)

Este não é o resultado que pretende, mas é um exemplo.

[garotanerd]

Muita obrigada, desculpe, sou nova aqui, vou olhar direitinho as regras^^
Em agradecimento, irei divulgar esse fórum. bjus:)

[josesousa]

De nada! Estamos aqui para ajudar e ser ajudados!

Saudações Pitagóricas!