Cálculo de Integral onde D é o círculo.
17 mai 2014, 02:48
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Re: Cálculo de Integral onde D é o círculo.
17 mai 2014, 14:20
Bom dia,
A maneira mais simples, que eu me lembro - pode ser que haja outra, para resolver esse tipo de problema é usar coordenadas polares. No caso desse problema é praticamente direta a conversão:
Fazendo \(x = r \cdot cos(\theta)\) e \(y = r \cdot sen(\theta)\), temos que \(x^2+y^2 = r^2\).
\(dA = rdrd\theta\) em coordenadas polares.
Como a região de integração é \(x^2 + y^2 \leq 1\) que, assim como a função dada, é simétrica em relação à origem, podemos usar o primeiro quadrante para calcular a integral e multiplicar por 4 o resultado.
\(D: x^2 - y^2 \leq 1 \Rightarrow D = \left{ (r, \theta) : 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0\leq r \leq 1\right}\)
Juntando as peças, a integral ficará assim:
\(\iint_D x^2 + y^2 dA = 4 \cdot \iint_D r^2 rdrd\theta = 4 \cdot \iint_D r^2 rdrd\theta\)
Separando e aplicando os extremos de integração (no primeiro quadrante):
\(4 \cdot \iint_D r^2 rdrd\theta = 4 \cdot \int_{0}^{1}r^3dr \cdot \int_{0}^{\pi/2}d\theta= 4\cdot \left[ \frac{r^4}{4}\right ]_0^1 \cdot \begin{bmatrix} \theta\\ \text{ } \end{bmatrix}_0^{\pi/2}\)
Agora é fazer as contas para concluir.
A maneira mais simples, que eu me lembro - pode ser que haja outra, para resolver esse tipo de problema é usar coordenadas polares. No caso desse problema é praticamente direta a conversão:
Fazendo \(x = r \cdot cos(\theta)\) e \(y = r \cdot sen(\theta)\), temos que \(x^2+y^2 = r^2\).
\(dA = rdrd\theta\) em coordenadas polares.
Como a região de integração é \(x^2 + y^2 \leq 1\) que, assim como a função dada, é simétrica em relação à origem, podemos usar o primeiro quadrante para calcular a integral e multiplicar por 4 o resultado.
\(D: x^2 - y^2 \leq 1 \Rightarrow D = \left{ (r, \theta) : 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0\leq r \leq 1\right}\)
Juntando as peças, a integral ficará assim:
\(\iint_D x^2 + y^2 dA = 4 \cdot \iint_D r^2 rdrd\theta = 4 \cdot \iint_D r^2 rdrd\theta\)
Separando e aplicando os extremos de integração (no primeiro quadrante):
\(4 \cdot \iint_D r^2 rdrd\theta = 4 \cdot \int_{0}^{1}r^3dr \cdot \int_{0}^{\pi/2}d\theta= 4\cdot \left[ \frac{r^4}{4}\right ]_0^1 \cdot \begin{bmatrix} \theta\\ \text{ } \end{bmatrix}_0^{\pi/2}\)
Agora é fazer as contas para concluir.