Calculo de Área Integral Definida

[Raphaell20]

Encontre o número b tal que a reta y=b divida a região delimitada pelas curvas \(y=x^{^{2}}\) e \(y=4\) em duas regiões com área igual.
Resposta= \(4^{2/3}\)

[Fraol]

Boa noite,

Pela simetria do gráfico das duas funções dadas e como se quer duas áreas iguais então uma delas será igual à metade da área original.

Quando \(y = 4\), temos que \(x^2 = 4\) e portanto \(x = 2\) ou \(x = -2\).

Assim á area delimitada por \(y = 4\) e \(x^2\), no lado positivo do eixo x equivale à metade da área original e igual a diferença da área de um retângulo 2x4 e da área sob a parábola \(x^2\) entre 0 e 2:

\(A = 8 - \int_{0}^{2} x^2 dx = 8 - \frac{x^3}{3}|_{0}^{2} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}\)


Quando \(y=b\) temos que \(x = \sqrt{b}\).
A área figura compreendida entre as funções, nesse caso, é a área de um retângulo \(2 \cdot \sqrt{b} \cdot b\) menos a área sob a parábola que vale \(2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{b}} x^2 dx\).

Devemos igualar essa conta ao resultado anterior, assim:

\(2 \cdot b^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{b^{\frac{3}{2}}}{3} = \frac{16}{3}\)

Ou seja:
\(b^{\frac{3}{2}} = {4} \Leftrightarrow b = {4}^{\frac{2}{3}}\)