Encontrar o valor da integral dupla. Utilizar coordenadas polares.

[Caruso]

Calcule a integral dupla abaixo:

\(\int \int_{D}e^{-x^2-y^2}dA\), onde D é a região delimitada pelo semicírculo \(x=\sqrt{4-y^2}\) e o eixo y.

Obs.: utilizar coordenadas polares.

[Sobolev]

Utilizando coordenadas polares, o integral a calcular é,

\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^2 r e^{-r^2} dr d \theta = \pi \left[-\frac 12 e^{-r^2}\right]_0^2 = \frac{\pi}{2}(-e^{-4}+1)=\frac{\pi (1-e^{-4})}{2}\)