integral de linha independência de caminhos

[jessy]

Sendo f conservativo, determine uma função potencial para este campo: f=(ycosxy+ y\(e^{xy}\))i + (xcosxy+ x\(e^{xy}\))j + k

[Sobolev]

Um campo vectorial diz-se conservativo se for o gradiente de um campo escalar. É esse campo escalar que se designa por potencial. Assim, sabemos que o potencial associado a f deve verificar:

\(F'_x = y \cos xy + y e^{xy}
F'_y = x \cos xy + x e^{xy}
F'_z = 1\)

Primitivando as expressões anteriores em ordem a x,y e z, respectivamente, temos que

\(F = \sin xy + e^{xy} + \phi_1(y,z)
F = \sin xy + e^{xy} + \phi_2(x,z)
F = z + \phi_3(x,y)\)

Comparando as três expressões obtidas para F, concluímos que \(F(x,y,z)= \sin xy + e^{xy} + z + K\).