Cálculo de integrais duplas invertendo a ordem de integração

[Fernandobertolaccini]

Calcular:

\(\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{y}}^{1}\sqrt{1-x^2}dx.dy\)


Resp: 2/9


Obs: tem que inverter os limites tem integração, mas não estou conseguindo fazer isto


Obrigado !

[Sobolev]

\(\int_0^1 \int_{\sqrt{y}}^1 f(x,y) dxdy = \int_0^1 \int_0^{x^2} f(x,y) dy dx\)

[Estudioso]

Sobolev, até hoje eu encontro dificuldade com a inversão da ordem de integração.

Me explique por favor como foi feito isso nesse exercício.

Obrigado

[Sobolev]

Os limites no primeiro integral devem ser lidos do seguinte modo: "Quando y varia entre 0 e 1, x varia entre \(\sqrt{y}\) e 1". Isto significa que estamos e descrever a região pintando-a com riscos horizontais... Para cada y entre zero e um, desenhamos um "risco" que começa na curva \(x=\sqrt{y}\) e termina em x=1. Inverter a ordem de integração significa neste caso pintar a mesma região com segmentos verticais.

Quando fazemos isso podemos ver que a mesma região pode ser preenchida com traços verticais que começam em y=0 e terminam na curva \(y = x^2\).

Sugiro que desenhe a região, escreva as equações das curvas que a limitam de dois modos: x em função de y e vice versa, e depois releia o primeiro parágrafo.