Calculo de integrais triplas com coordenadas esféricas

[F.Augusto]

Encontre a Massa do sólido limitado pelas esferas x²+y²+z²=4z e x²+y²+z²=6z supondo que a sua densidade em cada ponto (x, y, z) seja \(d=k\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) , sendo K>0.



Resp: M = 104 K.pi

Tentei fazer: \(\int_{4}^{6}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}K.\rho ^3sen(\phi )d\phi d\theta d\rho\)

Porém o resultado foi 1040 k.pi.... será que a resposta do livro está errada, ou eu que errei na montagem e resolução do problema?


Obrigado !!

[Sobolev]

Atenção... As esferas não têm centro na origem...

\(x^2+y^2+z^2 = 4z \Leftrightarrow x^2+y^2+(z-2)^2 = 4\)
\(x^2+y^2+z^2 = 6z \Leftrightarrow x^2+y^2+(z-3)^2 = 9\)

São esferas centradas no ponto (0,0,2) e (0,0,3), de raios 2 e 3, respectivamente.

[F.Augusto]

Atenção... As esferas não têm centro na origem...

\(x^2+y^2+z^2 = 4z \Leftrightarrow x^2+y^2+(z-2)^2 = 4\)
\(x^2+y^2+z^2 = 6z \Leftrightarrow x^2+y^2+(z-3)^2 = 9\)

São esferas centradas no ponto (0,0,2) e (0,0,3), de raios 2 e 3, respectivamente.

Muito obrigado pela resposta. Mesmo assim o resultado não está dando 104 k.pi.....será que errei nos limites de integração, ou na função a ser integrada?

[Sobolev]

Mas quais foram agora os limites de integração que considerou? Os limites do seu primeiro post só estariam correctos se as esferas estivessem centradas na origem.

[F.Augusto]

Mas quais foram agora os limites de integração que considerou? Os limites do seu primeiro post só estariam correctos se as esferas estivessem centradas na origem.

O exercício não disse nada sobre isso. Fiz com os dois conjuntos de raios (o que eu falei e o que vc me indicou), e mesmo assim o resultado não bateu.
O engraçado foi que com os meus limites de integração o resultado deu 1040 e o "certo" seria 104, e por isso pensei que talvez a resposta do livro esteja errada. O que você acha?