Problemas de Análise Matemática 2
12 dez 2011, 22:50
Boa Noite pessoal! Bom Sou o Nataniel sou angolano e tenho 17anos de idade estudante de Engenharia do 1º ano!
Nunca participei de forums de Matemática, apenas de Informática, mais especificamente na área de informática...
Gostaria que alguem de boa fé me ajudasse na resolução desses 2 de 4 exercícios...
http://i.imgur.com/twj66.jpg
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Grato pela atenção!
Nunca participei de forums de Matemática, apenas de Informática, mais especificamente na área de informática...
Gostaria que alguem de boa fé me ajudasse na resolução desses 2 de 4 exercícios...
http://i.imgur.com/twj66.jpg
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Grato pela atenção!
Re: Problemas de Análise Matemática 2
13 dez 2011, 00:38
Seja bem-vindo caro Nataniel
Pode colocar as dúvidas que quiser que tentaremos ser breves na resposta.
Como pode ver pelas regras, coloca-se apenas um exercício por tópico.
Assim, vou resolver o primeiro da primeira imagem.
1- quer achar o paralelepípedo com volume máximo cuja área total seja 5.
Imagine um paralelepípedo retangular com as arestas \(x,y,z\)
A função volume que queremos maximizar é dada por \(v(x,y,z)=x.y.z\) (para achar o volume de um paralelepípedo é multiplicar as três arestas nas diferentes direções espaciais)
No entanto sabe que está sujeito a restrições, ou seja a área total é 5. A área total é a soma das áreas de todos os lados, ou seja a função área é dada por \(A(x,y,z)=2xy+2zx+2yz=5\)
Quer então maximizar \(v(x,y,z)=x.y.z\) sujeito à restrição \(A(x,y,z)=2xy+2zx+2yz=5\)
Aplicando os multiplicadores de Lagrange vamos estudar esta função ao longo das quatro variáveis
\(\Lambda(x,y,z,\lambda)=x.y.z-\lambda(2xy+2zx+2yz-5)\)
Agora é só achar os extremos desta função \(\Lambda\)
\(\frac{\partial \Lambda}{\partial x}=yz-2\lambda(y+z)=0\)
\(\frac{\partial \Lambda}{\partial y}=xz-2\lambda(x+z)=0\)
\(\frac{\partial \Lambda}{\partial z}=xy-2\lambda(x+y)=0\)
\(\frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda}=2xy+2zx+2yz-5=0\)
Agora é só resolver este sistema e verá que o resultado é um cubo
Volte sempre
Pode colocar as dúvidas que quiser que tentaremos ser breves na resposta.
Como pode ver pelas regras, coloca-se apenas um exercício por tópico.
Assim, vou resolver o primeiro da primeira imagem.
1- quer achar o paralelepípedo com volume máximo cuja área total seja 5.
Imagine um paralelepípedo retangular com as arestas \(x,y,z\)
A função volume que queremos maximizar é dada por \(v(x,y,z)=x.y.z\) (para achar o volume de um paralelepípedo é multiplicar as três arestas nas diferentes direções espaciais)
No entanto sabe que está sujeito a restrições, ou seja a área total é 5. A área total é a soma das áreas de todos os lados, ou seja a função área é dada por \(A(x,y,z)=2xy+2zx+2yz=5\)
Quer então maximizar \(v(x,y,z)=x.y.z\) sujeito à restrição \(A(x,y,z)=2xy+2zx+2yz=5\)
Aplicando os multiplicadores de Lagrange vamos estudar esta função ao longo das quatro variáveis
\(\Lambda(x,y,z,\lambda)=x.y.z-\lambda(2xy+2zx+2yz-5)\)
Agora é só achar os extremos desta função \(\Lambda\)
\(\frac{\partial \Lambda}{\partial x}=yz-2\lambda(y+z)=0\)
\(\frac{\partial \Lambda}{\partial y}=xz-2\lambda(x+z)=0\)
\(\frac{\partial \Lambda}{\partial z}=xy-2\lambda(x+y)=0\)
\(\frac{\partial \Lambda}{\partial \lambda}=2xy+2zx+2yz-5=0\)
Agora é só resolver este sistema e verá que o resultado é um cubo
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Re: Problemas de Análise Matemática 2
13 dez 2011, 19:35
Sim! Obrigado pela ajuda, foi-me bastante útil. 
Re: Problemas de Análise Matemática 2
13 dez 2011, 20:27
De nada meu caro...
Volte sempre
Um abraço de Lisboa
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